📚 Hub Books: Онлайн-чтение книгДомашняяМагия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Шрифт:

-
+

Интервал:

-
+
1 ... 78 79 80 81 82 83 84 85 86 ... 89
Перейти на страницу:

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

что и требовалось доказать.◻

А что, если мы немного схитрим, прибегнем к алгебре «со сдвигом»?

Доказательство 2: Предположим, что

S = 1 + x + x2 + x3 +… + xn

Умножим обе стороны на x:

xS = x + x2 + x3 +… + xn + xn + 1

Вычтем xS и, проведя ряд упрощений, получим

S xS = 1 − xn + 1

Другими словами, S(1 − x) = 1 − xn + 1, то есть

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

что и требовалось доказать.

Обратите внимание, что при x = 1/2 конечный геометрический ряд подтверждает выведенную нами ранее закономерность:

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Чем больше n, тем ближе (1/2)n будет к 0. Следовательно, при n → ∞, у нас получится

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Отступление

На этот счет, кстати, есть одна шутка, понять которую сможет только математик. Бесконечное количество математиков заходит в бар. Первый заказывает полный бокал пива, второй – половину бокала, третий – четверть, четвертый – одну восьмую… Наконец, бармен не выдерживает и, воскликнув «Нет, ну есть же этому какой-то предел!», наливает им на всех две полные кружки.

Обобщая, можно сказать, что любое число в интервале от –1 до 1, возводимое во все бо́льшую и бо́льшую степень, все ближе и ближе подходит к нулю. В результате мы имеем крайне важный и полезный (бесконечный) геометрический ряд.

Теорема (геометрический ряд): При –1 < x < 1

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Чтобы решить нашу последнюю задачу, примем x = 1/2:

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Выглядит знакомо, не правда ли? Это потому что мы уже встречались с подобным рядом – в самом конце главы 11, когда с помощью исчисления старались показать, что функция y = 1/(1 – x) соответствует ряду Тейлора 1 + x + x2 + x3 + x4 +….

А что еще мы можем «выжать» из этого ряда? Как насчет следующей суммы?

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Если вынести за скобки дробь 1/4, убрав ее из каждого члена, получится

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

то есть при x = 1/4 мы можем упростить ряд до

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Доказать это можно практически без слов – просто посмотрите на рисунок ниже и обратите внимание, что закрашенные квадраты занимают ровно треть общей площади большого квадрата.

Геометрический ряд можно использовать также для доказательства нашей задачи с 0,99999…, ведь бесконечное количество знаков после запятой есть не что иное, как замаскированный бесконечный ряд. Просто примем x = 1/10 и получим

Магия математики. Как найти x и зачем это нужноМагия математики. Как найти x и зачем это нужно

Формула геометрического ряда верна и тогда, когда х – комплексное число, при условии, что длина x – меньше 1. Например, мнимое число i/2 имеет длину 1/2, из чего следует, что

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

что показано на следующем графике, расположенном на комплексной плоскости.

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

И хотя формула конечного геометрического ряда верна для любого значения x ≠ 1, (бесконечный) геометрический ряд требует, чтобы |x| был меньше 1. Например, при x = 2 конечный геометрический ряд покажет нам (как мы уже выяснили в шестой главе), что

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

а бесконечный – что

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

что выглядит нелепо (хотя это впечатление может быть и обманчивым: в предпоследнем разделе этой главы мы увидим вполне правдоподобное объяснение такого результата).

Отступление

Число положительных целых величин бесконечно:

1, 2, 3, 4, 5…

Равно как бесконечно и количество положительных четных целых величин:

1 ... 78 79 80 81 82 83 84 85 86 ... 89
Перейти на страницу:

Комментарии

Обратите внимание, что комментарий должен быть не короче 20 символов. Покажите уважение к себе и другим пользователям!

Никто еще не прокомментировал. Хотите быть первым, кто выскажется?