О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний - Маркус Дю Сотой

Она также была попыткой объединения, создания теории, которая описывала бы небесное и земное, великое и малое. Кеплер предложил законы, описывающие движение планет, которые он разработал эмпирически, опираясь на данные и пытаясь найти уравнения, которые воссоздавали бы прошлое. Галилей описал траекторию шара, летящего в воздухе. Гениальность Ньютона позволила ему понять, что эти два примера – проявления одного и того же феномена: гравитации.

Ньютон, появившийся на свет на Рождество 1643 г. в городе Вулсторп в Линкольншире, всегда стремился обуздать физический мир. Он делал механические и солнечные часы, строил миниатюрные мельницы на мышиной тяге, чертил бесчисленные планы зданий и кораблей и делал подробные зарисовки животных. Жившая в его доме кошка однажды исчезла, улетев на сделанном Ньютоном воздушном шаре. Однако отзывы его школьных учителей не сулили ему блестящего будущего: его называли «невнимательным и ленивым».

Надо сказать, что лень может быть не самым плохим качеством для математика. Она может быть мощным стимулом для изобретательного поиска какого-нибудь легкого способа решения задачи, избавляющего от упорной и монотонной работы. Но учителя, как правило, не ценят это качество.

И действительно, Ньютон так плохо учился в школе, что мать сочла его учебу пустой тратой времени и решила, что ему будет полезнее научиться управлять семейной фермой в Вулсторпе. К сожалению, в деле управления хозяйством Ньютон оказался столь же безнадежным, так что его снова отправили в школу. Хотя эта история наверняка апокрифична, говорят, что внезапное превращение Ньютона в ученого совпало с ударом по голове, который он получил от школьного хулигана. Как бы то ни было, после этого преображения Ньютон внезапно стал блестящим учеником и в конце концов поступил на учебу в Тринити-колледж в Кембридже.

В 1665 г., когда в Англии вспыхнула эпидемия бубонной чумы, Кембриджский университет был из предосторожности закрыт. Ньютон вернулся домой, в Вулсторп. Изоляция часто бывает важным ингредиентом изобретения новых идей. Ньютон запирался в своей комнате и размышлял.

Будучи изолирован в Линкольншире, Ньютон создал новый язык, способный выразить картину постоянно изменяющегося мира, – язык математического анализа. Этому инструменту предстояло стать ключом к возможности заблаговременного знания о будущем поведении Вселенной. Именно этот язык дает мне надежду узнать, какой стороной может упасть моя игральная кость.

Математический анализ пытается разобраться в математической задаче, которая на первый взгляд кажется бессмысленной: деление ноля на ноль. Когда я роняю свою игральную кость на стол, именно эту задачу мне нужно решить, чтобы узнать мгновенную скорость кости, летящей в воздухе.

Скорость кости постоянно увеличивается, поскольку сила тяжести тянет ее к земле. Как же вычислить, чему равна эта скорость в любой момент времени? Например, с какой скоростью падает кость через одну секунду? Скорость равна пройденному расстоянию, деленному на прошедшее время. Значит, я могу измерить расстояние, которое она пролетит в течение следующей секунды, и получить среднюю скорость за этот период. Но я хочу узнать точную скорость. Я могу измерить расстояние, пройденное за более краткий промежуток времени, скажем, за половину или четверть секунды. Чем меньше длительность такого интервала, тем точнее я могу вычислить скорость. В конце концов для получения точного значения скорости я буду вынужден взять бесконечно малый временной интервал. Но тогда мне придется вычислять результат деления ноля на ноль.

Придуманное Ньютоном исчисление сделало такой расчет возможным. Он понял, как можно вычислить то значение, к которому скорость стремится по мере уменьшения длительности временного отрезка. Этот революционный новый язык смог выразить картину постоянно изменяющегося мира. Геометрия древних греков была совершенным средством для описания статической, застывшей картины мира.

Математический анализ: осмысление деления ноля на ноль

Рассмотрим автомобиль, начинающий движение из неподвижного состояния. В момент включения секундомера водитель нажимает на педаль газа. Предположим, что, согласно нашим измерениям, в течение t секунд водитель проехал t · t м. С какой скоростью машина будет ехать через 10 секунд? Мы можем получить приблизительное значение скорости, измерив расстояние, пройденное автомобилем между 10-й и 11-й секундами. Средняя скорость за эту секунду равна (11 · 11–10 · 10)/1 = 21 м/с.

Но, взяв среднюю скорость на меньшем временном отрезке, скажем, длительностью 0,5 секунды, мы получим:

(10,5 · 10,5 – 10 · 10)/0,5 = 20,5 м/с.

Это, конечно, чуть медленнее, так как автомобиль разгоняется и во вторую половину секунды, которая прошла между 10-й и 11-й, он в среднем едет быстрее. Возьмем теперь еще меньший промежуток. Давайте еще раз разделим его пополам:

(10,25 · 10,25–10 · 10)/0,25 = 20,25 м/с.

Я надеюсь, что ваш внутренний математик уже заметил закономерность. Если взять временной промежуток длительностью х секунд, то средняя скорость за это время будет равна 20 + x м/с. По мере того как мы рассматриваем все меньшие интервалы, она все более приближается к 20 м/с. Так что, хотя кажется, что определение скорости на 10-й секунде требует вычисления частного 0/0, математический анализ позволяет понять, что это означает.

Великое математическое открытие Ньютона дало нам язык, способный описать мир движущийся. Математика перешла от описания натюрморта к воспроизведению движущегося изображения. В науке произошло нечто подобное случившемуся в этот же период перевороту в искусстве, когда динамическое искусство барокко вырвалось из статического искусства Возрождения.

Вспоминая это время, которое он называл «annus mirabilis»[17], Ньютон считал его одним из самых продуктивных периодов своей жизни. «Я был в расцвете сил и думал о Математике и Философии больше, чем когда-либо после».

Все, что нас окружает, находится в состоянии постоянного изменения, поэтому неудивительно, что эти математические методы приобрели такое большое влияние. Но, с точки зрения Ньютона, математический анализ был инструментом для личного пользования, позволившим ему получить научные выводы, изложенные в «Началах», великом труде, изданном в 1687 г., в котором он описывал свои идеи о гравитации и законах движения.

Говоря о себе в третьем лице, он объясняет, что его математический анализ был ключом к открытиям, содержащимся в этой книге: «Г-н Ньютон открыл большую часть предложений, изложенных в его “Началах”, при помощи этого нового Анализа». Но никакого описания этого «нового анализа» опубликовано не было. Вместо этого Ньютон частным образом распространял свои идеи среди друзей, но не испытывал никакого желания представить их на суд общественности.