Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт

Следующим вкладом в этот странный набор аномалий стали кривые, заполняющие всю область пространства (одну открыл Пеано в 1890 г., другую Гильберт в 1891-м), кривая, пересекающая саму себя в каждой точке (открыта Вацлавом Серпинским в 1915 г.), и кривая бесконечной длины, заключенная в конечной области. Последний пример геометрической странности, открытый в 1906 г. Хельге фон Кохом, получил название кривой-снежинки, и вот как ее можно получить. Нужно взять равносторонний треугольник и добавить к нему треугольные выступы ровно посередине каждой стороны (так, чтобы их основание занимало треть длины стороны), при этом убирая основание каждого выступа, чтобы в итоге получилась шестиконечная звезда. Затем добавить меньшие выступы в середине каждой из 12 сторон и так далее до бесконечности. Из-за шестикратной симметрии в результате получится форма безупречной снежинки. Правда, в природе снежинки растут по иным правилам, но это уже другая история.

Снежинка Коха

Математический мейнстрим тут же провозгласил эти курьезы «патологиями» из «собрания монстров», но с годами число таких возмутительных «курьезов» только росло и уже не могло игнорироваться научным сообществом: точка зрения одиночек дала свои плоды. Логика, скрытая в анализе, так тонка, что очень велика опасность соскользнуть к ошибочным выводам: подобного рода монстры предупреждают нас о том, что что-то не так. Итак, к началу века математики уже успели смириться с собранием этих странных изобретений. Они относились к этому исключительно как к чистой теории, которая не имеет каких-либо практических приложений. Тот же Гильберт в 1900-х гг. мог отзываться обо всей математике как о рае, не опасаясь шквала критики.

Только в 1960-х, вопреки всем ожиданиям, галерея теоретических монстров начала применяться в прикладной науке. Бенуа Мандельброт открыл, что эти нелепые кривые – первые ключи к ожидающей открытия теории самоподобных множеств в природе. Он дал им название «фракталы». До этого ученым вполне хватало традиционных геометрических форм вроде прямоугольников и сфер, но Мандельброт настаивал, что такой подход слишком ограничен. Окружающий мир насыщен сложными и нерегулярными структурами: береговыми линиями, горами, облаками, деревьями, ледниками, речными системами, океанскими волнами, кратерами вулканов, цветной капустой, о которых традиционная геометрия ничего сказать не может. Необходима новая геометрия природы.

Сейчас ученые приняли фракталы как вполне естественный способ мышления, как и их предшественники в конце XIX в., признав нелепые формы, изобретенные их коллегами. Вторая часть статьи «Атмосферная диффузия на дистанционном графе ближайших соседей» Льюиса Фрая Ричардсона от 1926 г., посвященная исследованиям атмосферы, вышла под заголовком «Есть ли скорость у ветра?». Сейчас это кажется вполне резонным вопросом. Движения слоев атмосферы турбулентны, турбулентность – фрактал, а фракталы могут вести себя как монструозная функция Вейерштрасса: двигаться непрерывно, но не иметь определенной скорости. Мандельброт находил примеры фракталов как в многочисленных областях науки, так и за ее пределами: форма дерева, ветвящаяся дельта реки, колебания цен на рынке.

Странные аттракторы математиков, рассматриваемые с точки зрения геометрии, на поверку оказались фракталами, и два направления научной мысли сплелись в новую отрасль, известную нам как теория хаоса.

Хаос можно найти практически в любой области науки. Джек Уиздом и Жак Ласкар открыли, что динамика Солнечной системы хаотична. Нам известны все уравнения, массы и скорости, необходимые для предсказания всех движений в вечности, но есть горизонт предсказаний примерно в 10 млн лет из-за хаоса в динамике. Если вам захочется узнать, по какую сторону от Солнца окажется Плутон через 10 млн лет, – лучше и не мечтайте. Те же астрономы доказали, что лунные приливы стабилизируют Землю от воздействий, которые иначе привели бы к хаотичному движению с моментальными сменами климата от жарких периодов к ледниковым и обратно. Так теория хаоса показывает, что без Луны Земля превратилась бы в весьма неприятное место для жизни.

Хаос возникает почти в любой математической модели биологических популяций, и последние эксперименты (где жуков разводят в контролируемых условиях) доказывают, что он отражает реальные законы существования популяций. Экосистемы в природе не достигают сбалансированного состояния сами по себе: они мечутся вдоль странных аттракторов, как правило кажущихся очень знакомыми на первый взгляд, но всегда разных. Наша неспособность разобраться в этих тончайших механизмах регуляции экосистем – одна из причин того, что мы истощили мировые запасы рыбы.

От хаоса самое время перейти к сложности. Большинство проблем, с которыми пришлось столкнуться современной науке, поражают своей необычайной сложностью. Чтобы управлять жизнью кораллового рифа, леса или запасами рыбы в океане, необходимо понимать нюансы экосистемы, в которой вроде бы безобидные изменения могут вызвать неожиданные проблемы. Реальный мир настолько сложен и так неохотно поддается измерению, что традиционные способы моделирования тут практически неприменимы, а проверить их еще труднее. В ответ на этот вызов всё больше ученых убеждается в том, что для описания реального мира нам необходимы фундаментальные изменения в том, как мы моделируем наш мир.

В начале 1980-х гг. Джордж Кован, бывший глава исследовательского центра в Лос-Аламосе, решил, что один из способов двигаться вперед лежит в области развития теорий нелинейной динамики. Здесь незначительные факторы могут породить мощные эффекты, жесткие правила – привести к анархии, привычные предметы – обрести невероятные свойства. Иными словами, здесь есть всё, что характерно для реального мира. Но достаточно ли этих сходств для того, чтобы добиться истинного понимания законов природы?

Современные компьютеры могут вычислить сложные орбиты для задачи трех тел

Кован высказал идею о целесообразности создания нового научно-исследовательского института для междисциплинарных исследований и развития нелинейной динамики. Его поддержал Марри Гелл-Ман, нобелевский лауреат по физике элементарных частиц. В 1984 г. они создали объединение, позже названное Институтом Рио-Гранде. Сейчас он известен как Институт Санта-Фе, международный центр по изучению сложных систем. Теория сложности уже стала источником новейших математических методов и подходов с использованием компьютеров для создания цифровых моделей природы. Благодаря машинам ученые анализируют эти модели и открывают потрясающие свойства сложных систем. И они используют нелинейную динамику и другие области математики, чтобы понять, что выдают им компьютеры.