Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт

• Парабола – переходная кривая между эллипсом и гиперболой, параллельная воображаемой линии, проходящей через вершину конуса и лежащей на его поверхности. Имеет только одну ветвь, уходящую в бесконечность.

Конические сечения подробно изучал Аполлоний Пергский, перебравшийся из Перги в Малой Азии в Александрию, чтобы учиться у последователей Евклида. Его главный труд, «Конические сечения», написан около 230 г. до н. э. и содержит 487 теорем. Евклид и Архимед лишь косвенно изучили некоторые свойства конусов, но пришлось написать целую книгу, чтобы собрать все теоремы Аполлония. Одна из важнейших его идей заслуживает особого внимания. Это упоминание о фокусах эллипса (либо гиперболы). Фокусы – две особые точки, характерные для этих двух фигур. Они имеют много свойств, но для нас важно одно: сумма расстояний от любой точки эллипса до обоих его фокусов есть величина постоянная (равная удвоенному большому диаметру эллипса). Фокусы гиперболы имеют то же свойство, но здесь этой же постоянной величине соответствует разница между аналогичными расстояниями.

Как Эратосфен измерил окружность Земли

С помощью конусов греки производили трисекцию угла и удвоение куба. При помощи других специальных кривых, особенно квадратрисы, они также могли найти квадратуру круга.

Древние греки внесли две основные идеи в развитие нашей цивилизации. Первая – систематизированный подход к геометрии. Используя ее как инструмент исследований, греки открыли форму и размеры нашей планеты, ее взаимодействие с Солнцем и Луной и даже сложнейшие связи с остальной Солнечной системой. Они использовали геометрию, прокладывая два туннеля с обоих концов так, чтобы они точно встречались посередине, тем самым вдвое сокращая время строительства. Они умели строить гигантские и мощные механизмы, исходя из таких простейших принципов, как закон рычага, и в мирных, и в военных целях. Они использовали геометрию для строительства кораблей и в архитектуре. Такие их постройки, как Парфенон, до сих пор показывают, что математика и красота неразрывны. Поразительная элегантность Парфенона – результат искусных подсчетов, использованных архитекторами для преодоления ограничений визуального восприятия и избавления от ошибок в самом основании, на котором построен храм.

Второй важный вклад древних греков – систематическое использование логических заключений для подтверждения формулы: то, что утверждается, может быть доказано. Эта философия породила логическую аргументацию, но свою самую убедительную форму она приобрела в геометрии Евклида и его последователей. Дальнейшее развитие математики было бы невозможным без этого прочного логического фундамента.

Новый стадион Уэмбли. В постройке использованы принципы, открытые в Древней Греции и успешно развитые за много веков

Оба эти вклада не утратили значения и по сей день. Современное инженерное искусство – компьютеризированное проектирование и производство, например, – невозможно без солидной базы геометрических принципов, открытых в Древней Греции. Любое здание строится так, чтобы не развалиться под своим весом, а многие даже способны выстоять при землетрясениях. Кирпичная башня, подвесной мост, футбольное поле – очередная дань геометрии древних греков.

И рациональное мышление, и логические аргументы по-прежнему существуют. Наш мир стал слишком сложным и потенциально слишком опасным, чтобы принимать решения скорее исходя из своих убеждений, чем из реального положения дел. И научный метод был выстроен так тщательно именно для того, чтобы преодолеть глубоко сидящее в нас желание верить, будто то, что мы якобы знаем и что нас устраивает, истинно. В науке особое внимание как раз направлено на то, чтобы доказать ошибочность таких глубинных убеждений. И только те идеи, что устояли перед самыми жестокими попытками их развенчать, могут быть признаны близкими к правде.