Математика для гиков - Рафаель Роузен

Чтобы понять теорему Гаусса, представьте человека, которого уменьшили до одного дюйма и поместили на поверхность цилиндра. Если человек начинает идти, он может найти множество маршрутов, которым он может следовать. Например, он может пройти вдоль верхушки цилиндра по прямой линии. Или он может пройти вдоль изогнутой части цилиндра по кругу, пока не вернется в отправную точку. (Нам придется представить, что этот человек надел уж очень липкие ботинки.) Он также мог бы идти по спирали, кружась вокруг цилиндра и одновременно продвигаясь вдоль его длины. Теорема Гаусса гласит, что можно измерить кривизну этого цилиндра, используя все эти маршруты, их нужно умножить друг на друга, и получится значение. Плоская поверхность имеет нулевую кривизну – в конце концов, она плоская, – а криволинейная траектория имеет положительную кривизну. (Вогнутая кривая – которая выгнута внутрь – будет иметь отрицательную кривизну.) Когда вы умножаете кривизны, то в итоге умножаете положительное значение на ноль, в результате чего получается ноль (так как любое число, умноженное на ноль, дает ноль). Получается, что цилиндр имеет нулевую гауссовскую кривизну.

В теореме Гаусса также говорится о поверхности фигуры. Утверждается, что вы можете сгибать и растягивать поверхность и она будет иметь ту же гауссовскую кривизну, что и изначально, до тех пор, пока вы не нарушите ее целостность. Поэтому неважно, как сильно вы будете мять или деформировать цилиндр, гауссовская кривизна от этого не изменится.

Это приводит нас к пицце. Если вы когда-нибудь пытались держать большой кусок пиццы ровно в руке, особенно если на этом куске много расплавленного сыра и пеперони, то вы знаете, что конец пиццы всегда падает и вам становится трудно его есть. С другой стороны, если вы сложите кусок продольно, то конец вовсе не падает, а смотрит прямо, а начинка остается там, где ей и место. В чем же дело? Итак, если вы посчитаете кривизну не согнутого куска пиццы, то получите ноль. (Любые возможные траектории, по которым может пройти однодюймовый человек на поверхности куска являются плоскими.) А это значит, что вы можете сколько угодно двигать или сгибать этот кусок, но его кривизна будет все равно равна нулю.

А теперь посмотрите на кусок пиццы, конец которого смотрит вниз. Траектория от корочки до конца будет изогнутой, а траектория от одной стороны до другой – прямой. Теперь если мы сложим кусок, то траектория от одной стороны до другой будет кривой, а от корочки до конца – прямой.

Что же все это значит? Неважно, как согнут кусок, одна возможная траектория должна быть прямой (так как плоская кривая имеет нулевую гауссовскую кривизну, и нам нужен ноль в расчетах, чтобы получить в результате ноль). Если траектория между сторонами плоская, то траектория от начала до конца будет кривой. Если траектория от начала до конца плоская, то траектория между сторонами будет кривой.

Вернемся к изначальной задаче: мы не можем аккуратно обернуть арбуз бумагой или разровнять кожуру от грейпфрута потому, что плоские и круглые объекты имеют разную гауссовскую кривизну. Так что в следующий раз, когда будете заказывать пиццу, подумайте о гауссовской кривизне и смело сгибайте ваши куски пиццы.

Карл Гаусс

Карл Гаусс был вундеркиндом. Однажды в школе его попросили сложить все числа от 1 до 100. Сообщается, что он нашел решение за считанные секунды. Он предложил разбить сумму на 50 пар чисел – 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т. д., сумма каждой такой пары составляла 101. Поэтому результат составлял 101 × 50, или 5050.

Вы когда-нибудь были в тематическом парке Epcot и стояли под гигантской сферой под названием «Космический корабль “Земля”»? Если да, то вы знакомы со структурой геодезического купола. Геодезические купола состоят из треугольных деталей, расположенных рядом друг с другом так, что вершина одной из них находится рядом с основанием другой. Таким образом, вместо гладкой сферы или купола мы получаем слегка угловатый геодезический купол (напоминающий диско-шар).

Геодезические сферы и купола (разрезанные напополам сферы) чрезвычайно легкие и прочные, они стали популярными в середине 1900-х благодаря Бакминстеру Фуллеру, инженеру, который хотел с помощью изобретений решить человеческие проблемы. Создание структуры из треугольных деталей дает более стабильную конструкцию, нежели из квадратных. Фуллер представлял геодезические купола как эффективное, доступное жилье. Экономия возникала бы из формы: сферы покрывают определенное пространство минимальной площадью поверхности, тем самым в теории снижая затраты на строительные материалы. Открытое внутреннее пространство также позволяет воздуху легко перемещаться, тем самым потенциально сокращая затраты на обогрев и кондиционирование помещения. На самом деле, геодезические купола – это воплощение сентенции Фуллера «делать больше с меньшими затратами».

Вы также можете думать о геодезических куполах как о платоновых телах (см. главу 1.20). Как и эти красивые фигуры, геодезические купола созданы из одного вида многоугольников – треугольников, – только в геодезических куполах эти треугольники как бы выталкиваются так, что они становятся ближе к линии воображаемой сферы, обволакивающей купол. И, как и в случае с платоновыми телами, геодезические купола демонстрируют мощь и величие геометрии.

Если вы хотите своими глазами увидеть геодезический купол, вам не обязательно ехать в Disney World. Его можно увидеть и в ботаническом саду Миссури в Сент-Луисе, если посетите Климатрон, купол высотой 70 футов и 175 футов в диаметре, он построен из алюминиевых жердей и панелей из оргстекла.

Почему так мало домов в форме купола? Возможно, из-за того, что в куполах меньше пространства, которое реально можно использовать, чем в обычных домах.

Бакминстер Фуллер

Бакминстер Фуллер опережал свое время. Фуллер известен своими инновационными изобретениями, такими, как автомобиль «Димаксион» с тремя колесами, он также посвятил себя помощи человечеству, пытаясь найти способы «делать больше с меньшими затратами». Он также внес свой вклад в развитие языка и придумал такие термины, как «космический корабль Земля» и «синергетический».

Представьте двухмерный мир, населенный разумными фигурами, квадратами и шестиугольниками, линиями и кругами, которые умеют думать и общаются друг с другом так, как это делаем мы в трехмерном мире. Таков посыл «Флатландии», романа, опубликованного в 1884 году, его автором является Эдвин Э. Эбботт, школьный учитель и священник. Главный герой в книге – квадрат, который рассказывает читателю о правилах и традициях Флатландии, включая форму домов – пятиугольники, чтобы углы домов не были слишком острыми и не могли причинить вред жителям Флатландии, которые могли случайно на них натолкнуться, – и иерархию жителей. Женщины во Флатландии предстают как прямые линии, солдаты и рабочие низшего класса являются равнобедренными треугольниками, у которых один угол очень острый (тем лучше для войны). Мужчины среднего класса представлены квадратами и пятиугольниками, а элита – шестиугольниками. Чем больше сторон у фигуры, тем выше ее звание; самое высокое положение в обществе занимают круги.