Наука Плоского мира. Книга 2. Глобус - Йен Стюарт

Б-пространство служит типичным примером привычки Плоского мира брать метафорические понятия и воплощать их в реальности. У нас же это понятие известно как «фазовое пространство». Оно введено французским математиком Анри Пуанкаре около ста лет назад, чтобы открыть возможность применения геометрических суждений в динамике. К настоящему времени метафора Пуанкаре успела проникнуть во все области науки, а то и за ее пределы, и мы постараемся найти ей разумное применение в нашей дискуссии о роли рассказия в эволюции разума.

Пуанкаре был типичным рассеянным ученым – хотя если подумать, его разум просто находился где-то в другом месте, а именно в его математических рассуждениях, и его легко понять. Пожалуй, он был наиболее одаренным математиком XIX столетия. Будь у вас такой разум, вы бы тоже проводили бо́льшую часть своего времени где-то не здесь, наслаждаясь красотой матвселенной.

Пуанкаре прошелся почти по всем областям математики и написал несколько успешных и популярных научных книг. В одном из исследований, в ходе которого он в одиночку создал новый «качественный» способ мышления в динамике, им указано, что при изучении какой-либо физической системы, существующей в различных состояниях, разумно учитывать не только состояние, в котором она находится, но и состояния, в которых она может находиться. Это и есть связь «фазового пространства» с системой. Каждое возможное состояние – это точка в этом пространстве. По прошествии времени состояние меняется, и эта точка вычерчивает кривую, или траекторию, системы. Правило, определяющее последовательность траектории, и есть динамика системы. В большинстве областей физики динамика точно определена раз и навсегда, но мы можем расширить эту терминологию для случаев, в которых правило предоставляет нам выбор из нескольких вариантов. В качестве примера приведем игру. Так, фазовое пространство – это пространство возможных позиций, динамика – правила игры, а траектория – стандартная последовательность ходов, которые делают игроки.

Для нас не столь важны начальные условия и терминология фазовых пространств, как точки, которые к ним привязаны. К примеру, вы задаетесь вопросом, почему поверхность воды в бассейне такая ровная в отсутствие ветра и иных внешних воздействий. Она просто ровная и даже ничего не делает. Но вы тут же решите пойти дальше и спросите: «А что случилось бы, не будь она ровной?» Почему, например, воду нельзя собрать в горку посередине бассейна? Представьте, будто можно. Представьте, что вы можете контролировать положение каждой молекулы воды – вы собирали ее в горку, и каждая молекула чудесным образом остается именно в том месте, куда ее положили. А потом вы ее «отпустили». Что произойдет? Горка воды обрушится, и волны будут плескаться о стенки бассейна, пока все не успокоится до того приятного, ровного состояния, к которому мы привыкли. Или предположите, что вы устроили так, чтобы вода в бассейне приняла форму с большим углублением посередине. И тогда, если вы ее отпустите, она хлынет от стенок, чтобы заполнить это углубление.

С точки зрения математики эту идею можно рассмотреть в виде пространства всех возможных форм водной поверхности. В данном случае «возможные» формы подразумевают не физическую возможность: единственная форма, которая встречается в реальном мире при отсутствии внешних воздействий, это ровная поверхность. «Возможные» – значит «концептуально возможные». Поэтому нельзя представить пространство всех возможных форм поверхности в виде простой математической конструкции – это и есть фазовое пространство нашей задачи. Каждая «точка», или местоположение, представляет допустимую в нем форму поверхности. Лишь одна из этих точек, лишь одно состояние, представляет ровную поверхность.

Определив соответствующее фазовое пространство, мы должны понять динамику: каким образом естественный поток воды под воздействием гравитации влияет на возможную форму поверхности. Здесь возникает простой принцип, сразу решающий всю задачу: вода ведет себя так, чтобы сделать свою полную энергию минимальной. Если привести воду к какому-либо определенному состоянию вроде той горки, а потом отпустить, ее поверхность будет опускаться по «энергетическому градиенту», пока не придет к минимальной энергии. Затем (после нескольких всплесков, которые постепенно стихнут из-за силы трения) она будет оставаться в этом состоянии с наименьшей энергией.

Под энергией в данном случае подразумевается «потенциальная энергия», зависящая от гравитации. Потенциальная энергия массы воды равна ее высоте над некоторым произвольным уровнем, помноженной на соответствующую ей массу. Допустим, поверхность воды не плоская. Тогда одни ее участки будут выше других, и мы сможем переместить воду с более высоких участков на низкие, разравнивая бугорки и заполняя углубления. Сделаем это, и вода будет двигаться вниз, то есть ее энергия уменьшится. Отсюда вывод: если поверхность отлична от плоской, значит, энергия не минимальна. Иначе говоря, минимальное значение энергии достигается лишь при условии плоской поверхности.

Другой пример – это мыльный пузырь. Почему он круглый? Ответить на этот вопрос можно, сравнив его реальную круглую форму и гипотетическую некруглую. В чем между ними различие? Кроме того, что один круглый, а другой нет? Согласно греческой легенде, Дидоне предложили участок земли (в северной Африке) такой площади, какой она могла обложить бычьей шкурой. Она разрезала шкуру на длинную и тонкую полосу и выложила ее кругом. Позже на том месте был основан Карфаген. Почему она выбрала круг? Потому что из всех фигур с равным периметром именно круг обладает наибольшей площадью. А сфера точно так же имеет наибольший объем среди фигур с равной площадью поверхности. Или, другими словами, это фигура с наименьшей площадью поверхности при равном объеме. Пузырь имеет ограниченный объем воздуха, а площадь поверхности дает мыльной пленке энергию для растяжения этой поверхности. В пространстве всех возможных форм пузырей наименьшей энергией обладает сфера. У других форм энергия больше, и поэтому все они исключаются.

Вероятно, вам кажется, что пузыри – это не столь важная проблема. Но аналогичный принцип объясняет, почему Круглый мир (планета, а не вселенная, хотя, возможно, и вселенная тоже), собственно, круглый. Будучи когда-то расплавленным камнем, он принял сферическую форму, так как она имела наименьшую энергию. По той же причине тяжелые материалы, такие как железо, осели внутрь ядра, а более легкие, такие как континенты и воздух, всплыли наружу. На самом деле Круглый мир – это не совсем сфера, ведь он вращается, в результате чего центробежные силы привели к утолщению в районе экватора. Величина этого утолщения составляет всего треть процента, и для жидкой массы, вращающейся с такой же скоростью, с какой вращалась Земля, когда начала затвердевать, эта утолщенная форма обладает наименьшей энергией.

Для основной идеи настоящей книги физика не столь важна, как применение различных фазовых пространств с позиции «А что, если…». Обсуждая форму воды в бассейне, мы совсем проигнорировали ту плоскую поверхность, которую и пытались объяснить. Все наши аргументы основывались на неплоских поверхностях, горках, углублениях и гипотетических перемещениях воды с одного места на другое. Почти во всех рассуждениях мы подразумевали то, чего на самом деле произойти не может. Лишь в самом конце, исключив все неплоские поверхности, мы обнаружили, что осталась всего одна возможность, которой вода и пользуется в действительности. То же касается и мыльных пузырей.