Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Современный подход, при котором 1 — не целое число, разбивает гипотезу Гольдбаха на две части. Вариант для четных чисел (так называемая бинарная проблема Гольдбаха) гласит: любое четное целое число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

А вот вариант для нечетных (известный как тернарная проблема Гольдбаха): любое нечетное число больше 5 можно представить в виде суммы трех простых чисел.

Из бинарной гипотезы автоматически следует тернарная, но не наоборот{4}. Есть смысл рассматривать эти гипотезы по отдельности, поскольку мы до сих пор не знаем точно, верна ли хоть одна из них. Но, похоже, тернарная проблема немного проще, в том смысле что продвинуться в этом направлении удалось заметно дальше.

Бинарную гипотезу Гольдбаха для малых чисел можно подтвердить несложными вычислениями:

Несложно продолжить ряд примеров вручную, скажем, до 1000 или около того, а можно и дальше, если хватит терпения. К примеру, 1000 = 3 + 997, а 1 000 000 = 17 + 999 983. В 1938 г. Нильс Пиппинг проверил бинарную гипотезу Гольдбаха для всех четных чисел вплоть до 100 000.

При этом выявилась общая тенденция: чем больше само число, тем больше способов представить его в виде суммы простых. Это отвечает здравому смыслу. Если вы возьмете большое четное число и начнете вычитать из него по очереди простые числа, с какой вероятностью все результаты этих действий окажутся составными? Достаточно в списке разностей появиться хотя бы одному простому числу, — и можно считать, что гипотеза для исходного числа подтверждена. Обратившись к статистическим свойствам простых чисел, можно оценить вероятность такого исхода. В 1923 г. аналитики Харольд Харди и Джон Литлвуд проделали такую операцию и вывели правдоподобную, но нестрогую формулу для числа способов представления заданного четного n в виде суммы двух простых чисел: это число приблизительно равно n/[2 (log n)²]. Это число увеличивается с ростом n и, кроме того, хорошо согласуется с числовыми данными. Но даже если математикам удалось бы сделать эту формулу точной, невозможно было бы исключить возможность того, что из нее существуют очень редкие, но все же исключения, так что формула не слишком помогает.

Основное препятствие, мешающее доказать гипотезу Гольдбаха, заключается в том, что она сочетает в себе две очень разные характеристики. Простые числа определяются через умножение, а в самой гипотезе речь идет о сложении. Поэтому необычайно трудно соотнести желаемый вывод с каким бы то ни было разумным свойством простых чисел. Такое впечатление, что рычаг просто некуда вставить. Должно быть, эти слова звучали настоящей музыкой в ушах владельцев издательства Faber & Faber, когда в 2000 г. они пообещали премию в 1 000 000 долларов за доказательство гипотезы. Сделано это было ради продвижения романа Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха»[2]. Сроки поджимали: решение необходимо было представить до апреля 2002 г. Премия эта так никому и не досталась, что едва ли удивительно, если учесть, что проблема Гольдбаха остается нерешенной уже более 250 лет.

Гипотезу Гольдбаха часто формулируют иначе — как вопрос о сложении множеств целых чисел. Бинарная проблема Гольдбаха — простейший пример такого подхода, поскольку при этом мы складываем всего лишь два множества. Для этого нужно взять любое число из первого множества, добавить к нему любое число из второго и составить из всех таких сумм свое, третье множество. Так, сумма множеств {1, 2, 3} и {4, 5} содержит 1 + 4, 2 + 4, 3 + 4, 1 + 5, 2 + 5, 3 + 5, т. е. {5, 6, 7, 8}. Некоторые числа возникают здесь не по одному разу; к примеру, 6 = 2 + 4 = 1 + 5. Я называю подобные повторы перекрытием.

Теперь можно сформулировать бинарную гипотезу Гольдбаха заново: если сложить множество простых чисел с самим собой, то полученное в результате множество будет содержать все четные числа больше двух. Такое изменение формулировки может показаться немного банальным — так оно, кстати, и есть, — но оно помогает переместить проблему в ту область математики, где есть некоторые убедительные теоремы общего характера. Немного мешает число 2, но от него можно без труда избавиться. 2 — единственное целое простое число, и при сложении его с любым другим простым числом результат получается нечетный. Так что во всем, что касается гипотезы Гольдбаха, о двойке можно просто забыть. Однако 2 + 2 нам потребуется для представления числа 4, поэтому нам придется ограничить свое внимание четными числами начиная с 6.

В качестве эксперимента рассмотрим простые числа до 30 включительно. Таких чисел девять: {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. При сложении этого множества с самим собой получится то, что можно увидеть на рис. 3: я выделил суммы, меньшие или равные 30 (диапазон четных чисел, в который укладываются все простые до 29) жирным шрифтом. При таком представлении результата ясно видны две простые закономерности. Во-первых, вся таблица симметрична относительно главной диагонали, поскольку a + b = b + a. И, во-вторых, выделенные числа занимают приблизительно левую верхнюю половину таблицы (см. рис. 3) над жирной (проходящей по диагонали) линией. Мало того, в середине они даже норовят вылезти за нее. Происходит это потому, что в среднем большие простые числа встречаются реже, чем маленькие. Дополнительная выпуклость посередине с лихвой компенсирует числа 32 в верхнем правом и нижнем левом углах.

Теперь мы можем сделать некоторые грубые оценки. Я мог бы быть более точным, но этого вполне достаточно. Число ячеек в таблице составляет 9 × 9 = 81. Около половины чисел в этих ячейках находятся в левом верхнем треугольнике. Благодаря симметрии все числа, кроме лежащих на диагонали, имеют симметричную пару, так что число независимых ячеек составляет примерно 81/4, т. е., округляя, 20. В интервале от 6 до 30 содержится 13 четных чисел, поэтому 20 (и даже больше) выделенных чисел могут принимать лишь 13 четных значений. Это значит, что в данном диапазоне потенциальных сумм двух простых больше, чем четных чисел. Представьте, что вы на ярмарке и вам нужно 20 мячиками поразить 13 мишеней. Согласитесь, что шанс попасть в большую часть из них у вас будет неплохой. Тем не менее по нескольким вы можете и промазать. Иными словами, не исключено, что некоторых четных чисел все же будет не хватать.