Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Но Зенон ошибался, полагая, что движение в подобном мире невозможно. Все мы знаем это по собственному опыту просмотра кино и видео на наших цифровых устройствах. Наши мобильные телефоны, цифровые видеорекордеры и компьютерные экраны разрезают все на отдельные пиксели, и тем не менее, вопреки утверждениям Зенона, движение в этих дискретных ландшафтах прекрасно происходит. Когда все «нарезано» достаточно мелко, мы не можем различить слитное движение и его цифровое представление. Если бы мы посмотрели видео с высоким разрешением стрелы в полете, мы бы фактически увидели пиксельную стрелку, которая появляется в одном кадре за другим. Однако из-за ограничений нашего восприятия это выглядит как гладкая траектория. Иногда наши чувства действительно нас обманывают.

Конечно, если нарезать слишком крупными блоками, то разница между непрерывным и дискретным будет заметна, и это нередко утомляет. Подумайте, чем старомодные аналоговые часы отличаются от современных цифровых/механических монстров. На аналоговых часах секундная стрелка перемещается по кругу красиво и равномерно, изображая текучее время, а на цифровых – рывками: тик, тик, тик, изображая скачущее время.

Бесконечность может построить мост между этими весьма различными концепциями времени. Представьте цифровые часы, которые вместо одного громкого «тика» дают триллионы крохотных «тиков» в секунду. Мы уже не сможем отличить такие часы от настоящих аналоговых. Точно так же и с фильмами и видеороликами: пока кадры меняются достаточно быстро – скажем, тридцать раз в секунду, – они создают впечатление плавного потока. А если бы в секунду менялось бесконечное количество кадров, то поток был бы действительно плавным.

Подумайте, как записывается и воспроизводится музыка. Моя дочка недавно получила на 15-летие старомодный проигрыватель Victrola. Теперь она может слушать Эллу Фицджеральд на виниле. Это квинтэссенция аналогового опыта. Все ноты и скеты[37] Эллы текут так же плавно, как и тогда, когда она их пела; громкость меняется непрерывно между тихими и громкими звуками, захватывая весь диапазон между ними, и точно так же плавно меняется высота ее тона. В то же время, когда вы слушаете ее в цифровом формате, все нюансы ее музыки раздроблены на крошечные дискретные шажки и преобразованы в строки из 0 и 1. Но хотя концептуальные различия огромны, наши уши не в состоянии их уловить.

Таким образом, в обычной жизни пропасть между дискретным и непрерывным вполне преодолима, по крайней мере при хорошем приближении. Для многих практических целей дискретное может заменять непрерывное при достаточно мелком разбиении вещей. В идеальном мире анализа мы можем пойти еще дальше. Все непрерывное можно точно (а не приблизительно) нарезать на бесконечно тонкие бесконечно малые части. Это принцип бесконечности. С пределами и бесконечностью дискретное и непрерывное становятся единым целым.

Зенон встречает кванты

Принцип бесконечности просит нас притвориться, что все можно резать и дробить до бесконечности. Мы уже видели, насколько полезными бывают такие представления. Идея пиццы, которую можно разрезать на произвольно тонкие ломтики, помогла нам найти площадь круга. Естественно, возникает вопрос: существуют ли такие бесконечно малые вещи в реальном мире?

Квантовой механике есть что сказать по этому поводу[38]. Этот раздел современной физики описывает поведение природы в самых малых масштабах. Это самая точная физическая теория из когда-либо созданных, и она знаменита своею странностью. Ее терминология – со всеми лептонами, кварками и нейтрино – словно позаимствована у Льюиса Кэрролла. Поведение, которое она описывает, тоже часто бывает необычным. В атомном масштабе могут происходить вещи, которые никогда не случатся в макроскопическом мире.

Рассмотрим, например, с точки зрения квантовой механики загадку стены. Если бы нашим путешественником был электрон, он мог бы с некоторой вероятностью пройти сквозь стену. Сработал бы так называемый туннельный эффект. Такое действительно происходит. В классических терминах этому трудно придать смысл, но с точки зрения квантовой механики объяснение состоит в том, что электроны описываются волнами вероятности, которые, в свою очередь, описываются уравнением, предложенным в 1925 году австрийским физиком Эрвином Шрёдингером. Решение уравнения Шрёдингера[39] показывает, что небольшая часть волны вероятности существует и по другую сторону непроницаемого барьера. Это означает наличие маленькой, но ненулевой вероятности, что электрон будет обнаружен по ту сторону барьера, как если бы он туннелировал сквозь стену. С помощью анализа мы можем рассчитать частоту, с которой происходят такие события, и эксперименты подтвердили прогнозы. Туннельный эффект реален. Альфа-частицы туннелируют, выходя из ядер урана с предсказанной квантовой механикой частотой – это альфа-распад. Туннельный эффект также играет важную роль в процессах ядерного синтеза, которые заставляют Солнце светить, поэтому жизнь на Земле частично зависит и от него. Этот эффект имеет и практические применения: на нем основана работа сканирующих туннельных микроскопов, которые позволяют ученым строить изображения отдельных атомов и манипулировать ими.

У нас нет интуитивного представления о таких событиях на атомном уровне, потому что мы – колоссальные создания, состоящие из триллионов триллионов атомов. К счастью, интуицию может заменить анализ. Вкупе с квантовой механикой он помог физикам открыть теоретическое окно в микромир. Плодами их исследований стали лазеры и транзисторы, микросхемы в компьютерах и светодиоды в телевизорах с плоским экраном.

Хотя квантовая механика во многих отношениях оперирует радикально новыми концепциями, она сохраняет традиционное предположение о непрерывности пространства и времени. Максвелл делал аналогичное предположение в своей теории электромагнитных волн, Ньютон – в теории тяготения, Эйнштейн – в теории относительности. Весь анализ, а следовательно, и вся теоретическая физика опираются на предположение о непрерывности пространства и времени. До сих пор оно приводило к ошеломляющим успехам.

Однако есть основания полагать, что в масштабах гораздо ниже атомных пространство и время теряют непрерывный характер. Мы не знаем, что действительно происходит на этом уровне, но можем строить догадки. Может оказаться, что пространство и время так же «пикселизированы», как в парадоксе Зенона «Стрела», хотя более вероятно, что из-за квантовой неопределенности они вырождаются в беспорядочный хаос. В таких малых масштабах пространство и время могут случайным образом бурлить и волноваться. Они могут меняться, как пузырящаяся пена.

Хотя в вопросе, как представлять пространство и время в этих масштабах, пока согласия нет, есть консенсус в отношении самих этих масштабов. Они определяются тремя фундаментальными константами природы, одна из которых – гравитационная постоянная G Она измеряет силу тяготения во Вселенной. Сначала эта константа появилась в ньютоновском законе всемирного тяготения, а затем в общей теории относительности Эйнштейна. Она будет и в любой теории, которая их заменит. Вторая постоянная ħ (читается «h с чертой») отражает силу квантовых эффектов[40]. Она появляется, например, в принципе неопределенности Гейзенберга и в волновом уравнении Шрёдингера, использующемся в квантовой механике. Третья константа – это скорость света c Это максимальная скорость во Вселенной. Никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей c. Эта скорость должна обязательно входить в любую теорию пространства и времени, поскольку связывает их: расстояние равно произведению скорости и времени. В 1899 году отец квантовой теории немецкий физик Макс Планк понял, что есть единственный способ объединить эти фундаментальные константы для получения единицы длины. Он пришел к выводу, что такая единица – естественная «мера длины» во Вселенной. В его честь она именуется планковской длиной[41] и определяется следующим соотношением: