Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт

Несмотря на эти препятствия, мало-помалу отрицательные числа завоевывали себе место. И в реальных вычислениях их необходимо было как-то обозначать. Иногда они ставили ученых в тупик, иногда показывали долги, иногда обозначали движение вниз, а не вверх. Но какой бы ни была интерпретация, они превосходно служили арифметике и оказались так полезны в подсчетах, что глупо было бы от них отказываться.

Мы так привыкли к нашей числовой системе, что готовы считать ее единственно возможной, по крайней мере единственной удобной. Но она развивалась тяжело, со множеством тупиковых ветвей, на протяжении тысячелетий. А еще у нее было много альтернатив, даже в таких ранних культурах, как майя. Иные обозначения для цифр 0–9 остаются в ходу в ряде стран. Да и в наших компьютерах внутренняя система счисления двоичная, а не десятичная: специально встроенные в них программы преобразуют числа в десятичную форму, прежде чем выводят их на экран или принтер.

Наша жизнь теперь неотделима от компьютеров, так стоит ли по-прежнему учить детей арифметике? Да, и по многим причинам. Кому-то надо уметь конструировать и собирать калькуляторы и компьютеры и обучать их командам. Для этого необходимо понимать арифметику: как и почему она работает, а не только как ею пользоваться. И если ваши арифметические способности сводятся к чтению чисел на экране калькулятора, скорее всего, вы и глазом мигнуть не успеете, как прозеваете чек с ошибкой в супермаркете. Без владения базовыми арифметическими действиями вы останетесь профаном во всем, что касается математики. Нашей цивилизации очень скоро придет бесславный конец, если мы начнем преподавать арифметику выборочно: ведь нельзя определить по ребенку в возрасте пяти лет, станет ли он инженером или ученым или хотя бы банковским служащим либо бухгалтером.

Конечно, раз вы уже владеете всей премудростью арифметики, использование калькулятора сэкономит кучу времени и сил. И всё же, как вы не станете учиться ходить, опираясь на костыль, так вы не сможете постичь законы взаимодействия чисел, полагаясь только на калькулятор.

Коварный икс

Такие задачи дали толчок к развитию области знаний, которую мы называем алгеброй: где числа представлены буквами. Неизвестная величина по традиции называется x, а сопутствующие условия излагаются в виде математических формул. Ученикам предлагается с помощью стандартных методов вычислить значение x по формулам. Например, упомянутую выше вавилонскую задачу мы запишем в виде уравнения x + 1/2 x = 15, и мы должны узнать, как вычислить x = 10.

На школьном уровне алгебра – ветвь математики, в которой неизвестные числа обозначены буквами, арифметические действия – специальными символами, а главная задача – вывести неизвестные из уравнений. Типовая задача школьной алгебры – поиск x, заданного в уравнении x2 + 2x = 120. Это квадратное уравнение имеет одно положительное решение, x = 10.

Здесь x2 + 2x = 102 + 2 × 10 = 100 + 20 = 120. Также оно имеет одно отрицательное решение, x = –12.

Тогда x2 + 2x = (–12)2 + 2 × (–12) = 144 – 24 = 120. Древние принимали положительные результаты, но не отрицательные. Мы признаем оба варианта: во многих задачах отрицательные числа имеют реальное значение и соответствуют физически возможным ответам. Вдобавок математика становится проще, если принять их существование.

В продвинутой математике использование символов для обозначения чисел сводится к ничтожной части этой области знаний, отражающей ее первые шаги. Алгебра рассказывает о свойствах выражений и уравнений с использованием буквенных символов, и речь уже о структуре и форме, а не только о числе. Этот более широкий взгляд развился в период, когда математики пошли дальше простой алгебры школьного уровня. Вместо того чтобы пытаться решать конкретные уравнения, они предпочли всмотреться в глубинные структуры процесса решения.