Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

тем, где что-нибудь расположено: например, если вы знаете, что нечто можно наблюдать или в точке с координатой x1 = 2 см, или в точке с координатой x2 = 5 см, то говорить о точке с координатой x1 + x2 = 7 см довольно бессмысленно, эти 7 см не определяют положение чего бы то ни было. При сложении же «высказываний» |x1⟩ + |x2⟩ никакие 7 см не появляются, числа внутри значков | ⟩ защищены этими значками и сами по себе в арифметические действия не вступают.

Не следует складывать числа

Мы на пути к главным чудесам квантовой механики! Вот что можно заметить уже сейчас: «высказываний» оказывается намного больше, чем «вещей», с которых мы начали. Про огромное число «высказываний» – таких как |q1⟩ + |q2⟩ + |q3⟩ – нелегко сказать, какой одной «вещи» высказывание соответствует. Тем не менее в «пространстве высказываний» имеется полная демократия: все они существуют там на равных правах вне зависимости от того, нашли или не нашли мы одну «вещь», отвечающую данному высказыванию. Это не лишено странности, но, как мы совсем скоро увидим, в этом и состоит способ преодоления вражды при описании мира. Сначала, однако, надо закончить с действиями над высказываниями. Сложение – это только одно из двух действий.

2. Любое «высказывание» |r⟩ можно умножить на любое число a. Получится снова некоторое «высказывание» a · |r⟩.

«Высказывание» a · |r⟩ не имеет никакого отношения к попытке умножить на a саму величину r (координату, компоненту количества движения, энергию или еще что-то в этом роде); в рамках нашей не квантово-механической, но красочной иллюстрации 5 · |желтый⟩ не означает «в пять раз более желтый». Но возможность еще и умножения наряду со сложением показывает, подвох какого выдающегося масштаба здесь намечается. Сумма 5 · |желтый⟩ + |синий⟩ выражает существенно больший шанс встретить желтый, чем синий, а если, отбросив аналогии, мы всерьез говорим об электроне и q1, q2, q3 – точки, то высказывание 10 · |q1⟩ + |q2⟩ + 0,1 · |q3⟩ выражает идею предпочтительного присутствия электрона в точке q1 и подавленного присутствия в точке q3; при этом я не отказываюсь от своих слов, что он не находится ни в одной конкретной точке[240].

Я слышу все более настойчивый вопрос: но что же такое эти | ⟩ «высказывания»? Я не пытаюсь его игнорировать, просто отвечать особенно нечего. Можно еще раз вспомнить про метафору вещей и слов. Слова – это то, что разрешается соединять друг с другом, следуя правилам грамматики, таким образом, чтобы результат можно было каким-то образом интерпретировать. Про наши «высказывания» можно сказать нечто похожее: это то, что можно умножать на числа и соединять друг с другом с помощью знака «+», а интерпретацией того, что получается, мы и будем в основном заняты на этой прогулке. В качестве грамматики же имеется одно ключевое правило. Оно выражается формулой, которую я не просто собираюсь привести, но намерен сделать это с целью не потерять половину своих спутников на этой прогулке, вопреки расхожей мудрости, что их количество уменьшается вдвое от каждой формулы.

Главное правило – раскрытие скобок

Формула, правда, широко известна. Умножая сумму на число, как в a · (B + C), можно сначала умножить каждое слагаемое, а потом сложить: a · B + a · C. Это одно и то же: a · (B + C) = a · B + a · C – вот и вся формула. Если кто-то вспомнил про материал примерно пятого класса под названием «раскрытие скобок», то это оно и есть (чуть более торжественно – распределительный закон). «Грамматика», регулирующая правила обращения с «высказываниями», именно такова: всегда должно соблюдаться правило раскрытия скобок a · (|r⟩ + |s⟩) = a · |r⟩ + a · |s⟩. Примитивная, ничего не скажешь, грамматика[241]. Тот факт, что она лежит в основе самого точного на сегодняшний день описания природы, кажется мне по-настоящему удивительным.

*****

Как же о них думать. И все же. Абстрактные конструкции, какими являются эти «высказывания», бывает полезно хоть как-то себе представлять. Есть два типа более осязаемых явлений, на которые они похожи по своим определяющим признакам – каковые только в том и заключаются, что к любым выбранным явлениям можно применить умножение на числа и сложение, в результате чего получаются другие явления того же типа.

Первый тип похожих явлений – волны. Их тоже можно складывать и умножать на числа таким способом, что в результате снова получаются волны. Умножение волны на 2,5 означает, что амплитуда колебаний в каждой точке в 2,5 раза больше – можно сказать, волна «выше» (и одновременно «глубже»). Это показано на рис. 11.1 слева. Идеальный усилитель сигнала, кстати, должен выполнять в точности умножение, не внося в волну больше никаких изменений (например, не сглаживая вершину усиленной – «умноженной» – волны). Умножение на что-нибудь вроде 0,1 дает волну в десять раз «ниже». Несложно разобраться и с умножением волн на отрицательные числа. Умножить на –1 означает инвертировать волну, т. е. перевернуть, как показано на рис. 11.1 справа. Умножение на –42 состоит в том, что волну надо инвертировать и умножить на 42. А после умножения волны на 0 получится волна с нулевой амплитудой колебаний во всех точках, т. е. в обычных терминах – отсутствие волны; удобно тем не менее считать отсутствие волны нулевой волной. Умножение (число) · (волна) отличается от умножения числа на число, потому что включает в себя два объекта разной природы: волны все-таки не числа. И волны в этом умножении «главнее», потому что в результате умножения получается именно волна: (число) · (волна) = (другая волна). В точности это мы видели и для «высказываний».

Рис. 11.1. Умножение волны на число дает другую волну. Слева: более светлый профиль – результат умножения более темного на 2,5. Справа: умножение на –1 инвертирует волну

Сложение волн – это просто наложение одной волны на другую. Наглядная иллюстрация – сложение волн на воде: игрушечный кораблик опускается и поднимается в зависимости от того, как именно