Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности - Ласло Мерё

Нужно сравнивать степень улучшения и ухудшения без каких-либо внешних воздействий (наград или наказаний) с тем, что получается при их применении. Если ухудшение, следующее за необычайно хорошей работой, в среднем оказывается больше в отсутствие вознаграждения, чем при его наличии, значит, награда оказывает положительное воздействие. С другой стороны, даже если наказание в целом улучшает работу, оно все равно может мешать повышению ее качества, так как без него среднее улучшение могло быть еще более значительным.

Если бы мы не знали о регрессии к среднему, мы могли бы ошибочно решить, что вознаграждения вредны, а наказания полезны, потому что все данные исследований говорят именно об этом. На самом же деле картина гораздо сложнее. В некоторых ситуациях вознаграждение может приносить пользу, а в других — вред. То же верно и в отношении наказания. Суммарный эффект вознаграждения или наказания определяется не только ситуацией, но и личными качествами человека, о котором идет речь. Бывают даже такие люди, на которых эти меры не оказывают почти или вовсе никакого действия, — люди, которые по праву могут сказать о себе словами из стихотворения «Непокоренный» (Invictus) Уильяма Эрнеста Хенли:

Почему же, несмотря на эти осложнения, регрессия к среднему не делает всю популяцию однородной или по меньшей мере все более и более усредненной? Казалось бы, она должна производить такой эффект, но факты говорят об ином.

Длина табачных листьев, которые изучал Гальтон, на протяжении многих поколений соответствовала одному и тому же неизменному распределению. Более того, это распределение с высокой точностью совпадало с тем, которое всего за несколько десятилетий до исследований Гальтона описал Гаусс. Гальтон обнаружил, что если некая характеристика популяции распределена нормально, то из этого следует, чисто математически, что явление регрессии к среднему уравновешивается тем фактом, что среди потомства особей, превышающих средний уровень, встречаются особи выдающиеся. Как разнообразие, так и стабильность популяции сохраняются даже при наличии регрессии к среднему, потому что этого требуют математические характеристики распределения Гаусса.

Впоследствии математики выяснили, что связь между разнообразием и устойчивостью, которую обнаружил Гальтон, возникает только при приблизительно гауссовом распределении популяции[44]. Следовательно, нормальное распределение можно считать источником стабильности: именно оно позволяет популяции оставаться в целом неизменной от поколения к поколению, несмотря на регрессию к среднему.

Разумеется, некоторые изменения популяции со временем все же происходят. Например, в прошлом веке человечество стало существенно выше ростом. Это отчасти вызвано развитием медицины, а отчасти — резким сокращением неполноценного питания. Тем не менее уже ясно, что в последние несколько десятилетий это увеличение остановилось, по меньшей мере в развитых странах. Рост будущих поколений, вероятно, будет приблизительно таким же, как рост нашего поколения — как по среднему значению, так и по стандартному отклонению. Установился новый стабильный ростовой режим. Распределение Гаусса сдвинулось, но осталось самим собой.

Закон регрессии к среднему действует как в Тихонии, так и в Диконии, но, поскольку стабильность популяции может быть гарантирована только распределениями, близкими к гауссову, стабильность встречается только в Тихонии. Поэтому не следует пренебрегать традиционной тихонской наукой, хотя она и не способна адекватно описывать (или моделировать) некоторые явления. В глубине души все мы жаждем стабильности, и некоторым популяциям удается ее достигнуть. Тараканы и крысы остаются неизменными на протяжении миллионов лет, сохраняя такие характеристики, как соотношение численности крупных и мелких или светлых и темных особей. Законы Тихонии весьма неплохо моделируют некоторые явления реального мира.

Наличие стабильности в Тихонии не означает, что своего рода стабильности не может существовать и в Диконии. Гераклит Эфесский говорил (или говорят, что он говорил), что ничто не постоянно, кроме перемен. Этот афоризм, которому уже две с половиной тысячи лет, отлично описывает те формы стабильности, которые существуют в Диконии — мире, в котором стабильность, присущая популяции тараканов, просто непредставима. Но, хотя Дикония дика, в ней тоже действуют природные законы. Некоторые из законов природы направляют мир в сторону Тихонии, другие — в сторону Диконии. Пока что сосредоточим свое внимание на Тихонии. О Диконии поговорим потом.

Фрэнсис Гальтон изобрел устройство, известное теперь под названием «доски Гальтона» (илл. 6); его называют также «фасолевой машиной» (bean machine). Оно наглядно демонстрирует хорошо известный закон вероятности. Шарики (или, например, фасолины) бросают в воронку сверху, предполагая, что падающий шарик при ударе о шпенек с равной вероятностью отскакивает или вправо, или влево. Шарики заполняют пазы в соответствии с так называемым биномиальным распределением. По мере падения шариков кривая, которую они образуют, все точнее и точнее соответствует распределению Гаусса. В 1920 году Дьёрдь Пойа опубликовал статью с математическим доказательством этого принципа; он назвал свою теорему центральной предельной теоремой. Слово «центральная» отражает роль этой теоремы в теории вероятностей. Как мы вскоре увидим, она также проливает свет на одну из важных уловок природы, помогающих продвижению мира в сторону Тихонии.

Легко понять, почему в центральные пазы попадает гораздо больше шариков, чем в пазы на левом и правом краях. Чтобы попасть в середину, шарику нужно отскочить три раза влево и три раза вправо. Он может сделать это несколькими способами — например, один раз влево, затем два раза вправо, затем два раза влево и еще один раз вправо (ЛППЛЛП). Также возможен вариант (ЛЛПППЛ) и так далее. Всего существует двадцать таких последовательностей. Но попасть в крайний левый или крайний правый паз может только шарик, отскакивающий каждый раз в одну и ту же сторону, шесть раз влево или шесть раз вправо, и такая траектория существует всего в одном варианте. Поэтому следует ожидать, что после падения большого количества шариков в центральном пазу окажется примерно в 20 раз больше шариков, чем в крайнем левом или крайнем правом.

Илл. 6. Доска Гальтона