Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности - Ласло Мерё

Математика центральной предельной теоремы образует фундамент, на котором природа может строить стабильные конструкции — например, популяции живых организмов. Возможно, пока природа экспериментировала по всей Вселенной, пробуя то одно, то другое, она создавала структуры как стабильные, так и нестабильные. По определению, выжили именно первые. Судя по тому, что мы знаем о физике, которая формировала космос после Большого взрыва, и о законах биологической эволюции, действенный способ достижения стабильности заключается в создании такой системы, в которой определенная характеристика создается сочетанием нескольких более или менее независимых компонентов сравнимой силы. Именно такое сочетание гарантирует, что данная характеристика будет распределена по приблизительно нормальному закону, что, в свою очередь, гарантирует ее стабильность из поколения в поколение (если не происходит резких изменений условий окружающей среды).

Однако несмотря на все усилия природы — а может быть, просто в соответствии с природой вещей, — иногда ей не удается создать характеристику через взаимодействие множества слабых компонентов. Иногда, как в случае синдрома Дауна, возникает компонент, подавляющий все остальные. Но даже в случае появления такого компонента природа применяет уловку — формирует каждую важную характеристику из суммы нескольких мелких, более или менее независимых компонентов, — и этого, как правило, бывает достаточно для достижения стабильности.

Я не знаю, что на самом деле является руководящим принципом природы — стремление к стабильности или просто сборка всего на свете из множества мелких компонентов, порождающая стабильность в качестве побочного продукта самого принципа строительства. Как бы то ни было, именно из-за центральной предельной теоремы столь многое в природе действует в соответствии с законами Тихонии и повсюду не царит свойственная Диконии нестабильность. Как мы помним из разговора о распределении Коши, положение точки, в которой выстрел Фиби попадает в стену, определяется одним-единственным компонентом, а именно тем угловым положением относительно стены, в котором Фиби оказывается после разворота. Если она повернута почти параллельно стене, малейшее изменение угла дает огромное расхождение в результатах. Поэтому нас не должно удивлять, что результат этот получается диконским — нестабильным в традиционном смысле этого слова. В Тихонии, где явления порождаются взаимодействием многочисленных мелких компонентов, мы ожидаем стабильности, с четко определенными понятиями среднего, или математического ожидания, и стандартного отклонения от среднего. Но в Диконии нормальна только ненормальность. Возможно все, что угодно, и у событий нет стандартного отклонения.

В этом и заключается фундаментальное различие между этими двумя мирами. То, что можно описать при помощи распределения Гаусса, составляющего самую основу Тихонии, часто определяется несколькими слабыми компонентами и потому остается стабильным до тех пор, пока не возникнет какого-нибудь подавляющего компонента. Сегодня это положение хорошо известно математикам, но его нужно было открыть, а для этого над этой задачей пришлось потрудиться весьма многим выдающимся умам, от Абрахама де Муавра, открывшего в 1733 году ранний вариант центральной предельной теоремы, до Гаусса, Гальтона, Пойи и нынешних исследователей, которые постоянно продолжают открывать все новые варианты центральной предельной теоремы и применять их к природным и общественным явлениям.

Математики обобщили центральную предельную теорему и в другом направлении. Из-за симметричности доски Гальтона — на каждом уровне каждый шарик с равной вероятностью может отскочить вправо или влево — это математическое устройство трудно использовать в качестве модели в биологии. В мире живых существ действует естественный отбор, содействующий некоторым из генов — тем, которые обеспечивают бо́льшую вероятность выживания, — больше, чем другим. Чтобы ввести в нашу модель естественный отбор, можно, например, сказать, что отскок вправо вносит в выживание больший вклад, чем отскок влево.

Математики исследовали, что происходит при внесении в доску такой асимметрии. Предположим, что на каждом уровне шарик падает на маленький рычажок, который может наклониться влево или вправо, причем все такие рычажки вращаются влево — то есть против часовой стрелки, — как миниатюрные пропеллеры. В результате вероятность отскока шарика влево всегда будет выше, чем вероятность отскока вправо. Если пропеллеры вращаются очень быстро, шарик почти всегда будет отскакивать влево, а если они вращаются медленнее, то и вероятность отскока влево будет меньше.

На такой «небеспристрастной» доске распределение шариков по пазам уже не будет симметричным. Слева их окажется больше. Тем не менее, если доска достаточно высока и широка, распределение шариков снова будет приближаться к гауссову, но его пик окажется смещен на некоторое расстояние влево. Чем быстрее вращаются пропеллеры, тем левее оказывается пик. Центральная предельная теорема продолжает действовать и на доске со смещением.

Математика асимметричной доски демонстрирует еще одно интересное свойство нормального распределения. Гауссиана абсолютно симметрична, но ее симметрия может быть образована асимметричными компонентами. В Тихонии абсолютная асимметрия может порождать — и часто порождает — абсолютную симметрию.

Теперь я хочу забежать вперед и показать вам фрактал — он изображен на илл. 8. Мы будем изучать эти странные объекты в части III. Фрактал этот совершенно не симметричен, но создает стойкое ощущение регулярности. Я поместил здесь его изображение, потому что оно иллюстрирует фундаментальное различие между Тихонией и Диконией. В Тихонии даже полная асимметрия может порождать абсолютную симметрию. В Диконии же даже принцип абсолютной симметрии (которую называют масштабной инвариантностью или самоподобием) может приводить к асимметрии. Фигура, представленная на илл. 8, является результатом действия чрезвычайно глубокого вида регулярности, гораздо более сложного, чем обычная симметрия.

Илл. 8. Фрактал

В предыдущей главе мы видели, что глубокая асимметрия может порождать абсолютно симметричное гауссово распределение. Однако существуют и такие явления, распределениям которых присуща неотъемлемая асимметрия, и с этим ничего не поделаешь. Например, распределение семейных доходов (илл. 9) асимметрично, потому что у него есть жесткий нижний предел — нулевой доход, — а сверху оно не ограничено ничем. Поскольку мы не ожидаем в этом случае абсолютной симметричности распределения Гаусса, мы не считаем, что гауссова кривая должна сколько-нибудь точно описывать распределение доходов. Семейный доход определяется несколькими компонентами, и, следовательно, для доходов должен быть справедлив какой-то вариант центральной предельной теоремы. Но этому предположению, кажется, противоречит не только отсутствие симметрии. Кроме того, правая часть кривой приближается к горизонтальной оси гораздо медленнее, чем распределение Гаусса, но быстрее, чем распределение Коши, — на самом деле эта кривая больше похожа на распределение Коши, чем на гауссиану. Действительно, по двум последним столбцам можно заключить — и вполне справедливо, — что длинный хвост, начинающийся во второй половине распределения, тянется еще очень далеко. Действительно, чрезвычайно высокие доходы существуют и даже встречаются не слишком редко[47]. Значит ли это, что семейный доход — явление диконское?