Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением - Рудольф Ташнер

— Что значит «десять процентов»? — интересуется Симпличио, и служащий пускается в объяснения:

— Если ты берешь у нас сто флоринов, то сейчас ты должен нам только эти деньги. Ты можешь отдать их нам обратно. Если же нам придется ждать год, прежде чем ты вернешь нам долг, то мы захотим получить не только те сто флоринов, что дали тебе сегодня, но и десять процентов суммы. Десять процентов — это буквально означает «десять из ста», то есть десять сотых твоего долга. Это десятая часть тех денег, которые ты берешь у нас сегодня.

— Но я не хочу платить больше, чем беру, — возмущается Симпличио.

— Мне очень жаль, но в таком случае я не смогу дать тебе деньги, — сокрушенно говорит банковский служащий и протягивает руку к мешку с деньгами. — Но спроси у кого хочешь в Сиене, и ты узнаешь, что ни один заимодавец не дает деньги в долг просто так. Все хотят иметь свой процент. Большинство берет пятнадцать процентов, но есть и такие наглые ростовщики, что берут и двадцать. Ты сам подумай: если ты купишь землю и засеешь ее, то через год ты наверняка будешь богаче, чем сейчас, и сможешь легко отдать долг вместе с процентами.

Симпличио соглашается. Он берет деньги, ставит крестик под долговой распиской, где сказано о десяти процентах, покупает землю и надеется на скорое обогащение.

Но скоро сказка сказывается, да нескоро дело делается. Сиену поражает засуха, неурожай повторяется из года в год целых семь лет. Почти всем, даже самым богатым крестьянам едва хватает средств, чтобы просто сводить концы с концами. Ни о каких накоплениях не может быть и речи. Не слишком тучными оказываются и следующие семь лет. Каждый месяц Симпличио туже затягивает пояс, чтобы отложить на уплату долга один-два флорина. Симпличио понимает, что рано или поздно долг придется возвращать.

Через четырнадцать лет Симпличио наконец набирает требуемую сумму. Крестьянин посчитал, что за каждый год он должен уплатить сверх ста флоринов еще десять. Он сложил сто сорок флоринов и сто, получил 240 флоринов и решил, что сможет рассчитаться с банком.

В банке Симпличио отвели к молодому, надменному служащему, на стол которого Симпличио выложил свои 240 флоринов. Нахальный банкир положил перед собой расписку Симпличио и бумажку с какими-то расчетами, с недовольной миной пересчитал принесенные деньги и сказал ледяным тоном:

— Этого очень мало.

— Почему мало? — искренне удивился Симпличио. — Я занял у вас сто флоринов и каждый год прибавлял по десять флоринов. За четырнадцать лет получилось сто сорок флоринов, которые я и принес вместе с прежней сотней.

— Ваш долг составляет 380 флоринов. Я возьму сейчас двести сорок флоринов, но вы останетесь нам должны еще сто сорок. Между прочим, за эти сто сорок флоринов вы будете впредь выплачивать по 12 процентов в год…

Симпличио не стал выслушивать эту фразу до конца. В бешенстве он выскакивает из банка, бежит по улицам Сиены, пока не оказывается в кабаке, где собираются недовольные режимом новески(11) — разбойники, периодически наводящие страх на бюргеров Сиены. Во время очередного восстания Симпличио оказывается в первых рядах с обнаженной саблей. Дальше следы его теряются.

Судьба бедного Симпличио была решена уже в тот момент, когда он решил, что при расчете процентов их величины складываются. Это самая страшная ошибка, которую совершают при начислении процентов, и совершил ее не только выдуманный нами Симпличио — ее совершают очень многие и в наши дни. На самом деле при расчете процентов надо не складывать, а умножать.

Симпличио подсчитал, сколько флоринов составят десять процентов от долга, а потом каждый год откладывал по десять флоринов в течение четырнадцати лет, считая по 10 процентов от первоначальной суммы. Счетоводы «Монте ди Пьета» считали несколько по-иному: ставка в десять процентов означает, что в течение года одолженный капитал увеличивается на коэффициент 1 + 10 % = 1 + 10/100, то есть первоначальную сумму надо умножить на величину 1,1. В первый год расчет банка не отличается от расчета, произведенного Симпличио. По истечении одного года он должен вернуть банку

100 × (1 + 10/100) = 100 × 1,1 = 110 = 100 + 10

флоринов. Далее Симпличио думает, что через два года он должен вернуть банку 100 + 20, то есть 120 флоринов. Банк, однако, отсчитывает увеличение выплаты от 110 флоринов, умножая на этот раз уже эту сумму на 1,1 и получая долг, равный 121 флорину. Разница между 120 и 121 флорином кажется совершенно безобидной — но через семь лет становится ясно, что долг стал уже достаточно тягостным для Симпличио. Сам крестьянин думает, что по истечении семи лет он должен вернуть банку 100 + 7 × 10, то есть 170 флоринов. Банк же семь раз увеличивает долг на 10 процентов, то есть семь раз умножает исходную сумму в сто флоринов на 1,1. Это в результате дает:

100 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 = 100 × 1,17 = 100 × 1,9487171,

или, округляя, 195 флоринов.

Именно такой расчет лежал на столе молодого банковского служащего: он рассчитал величину 1,1, возведенную в четырнадцатую степень — 1,114, — и получил число, приблизительно равное 3,7975. Если умножить это число на сто флоринов, одолженных Симпличио у банка, то округленно мы и получим 380 флоринов, которые банковский служащий и потребовал у простодушного крестьянина.

Почему же служащий банка не растолковал Симпличио то, как он подсчитал сумму 380 флоринов? Это объясняется само собой: Симпличио — неграмотный крестьянин XV в. Он умел с грехом пополам складывать числа, но об умножении не имел ни малейшего понятия и именно поэтому попал в беду.

Если число 1,17 = 1,9487171 щедро округлить, то мы получим число, почти равное 2. Это означает, что при процентной ставке 10 процентов за семь лет первоначальный долг почти удвоится. Но что будет при иной процентной ставке? Допустим, что некий банк дает деньги под два процента годовых. Для того чтобы подсчитать, за сколько лет первоначальный долг удвоится, нам понадобится лишь степенной ряд, начиная с числа 1 + 2 % = 1 + 2/100 = 1 + 0,02. Сначала величины членов ряда увеличиваются медленно: при округлении каждый раз до двух знаков после запятой

1,02² = 1,04, 1,02³ = 1,06, 1,024 = 1,08, 1,025 = 1,10.

Этот расчет показывает, что через пять лет при двух процентах годовых первоначальный долг увеличится на 10 процентов. То есть на столько, на сколько при десяти процентах годовых первоначальный долг увеличивается за один год. Поэтому при процентной ставке два процента до удвоения первоначального долга проходит в пять раз больше времени, чем до удвоения первоначального долга при годовой ставке в десять процентов. Другими словами, при ставке два процента долг удвоится через — семь на пять — тридцать пять лет. Возьмем карманный калькулятор, посчитаем точно и убедимся, что 1,0235 = 1,999889552…, то есть практически двум. То, что касается долгов, точно так же касается и капитала, который кладут на банковский счет под определенный процент.