Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Рис. 2.21. Измерение береговой линии Британии

Если вы используете длинный кусок веревки вместо жестких линеек, то сможете лучше отследить сложные формы на побережье. Измерение с помощью веревки даст значительно больший результат для береговой линии по сравнению с жесткими линейками. Но и у гибкости веревки есть предел – вам будут недоступны контуры на побережье сантиметрового масштаба. Если вы используете тонкую нитку, то сможете уловить еще больше деталей, и оценка длины береговой линии снова возрастет.

Согласно данным Картографического управления Великобритании, протяженность ее береговой линии составляет 17 819,88 км. Но измерьте эту длину с учетом более мелких деталей, и вы удвоите ее. В качестве иллюстрации того, насколько трудно точно установить географические длины, упомяну, что в 1961 г. Португалия заявила, что протяженность ее границы с Испанией составляет 1220 км, а по мнению Испании, она была лишь 990 км. Такую же степень расхождения можно найти у границы между Голландией и Бельгией. В общем случае – чем меньше страна, тем длиннее у нее получается граница…

Но можно ли положить предел этому процессу? Или же чем более мы отслеживаем детали, тем длиннее получается побережье? Чтобы показать, как такое возможно, давайте построим часть математической береговой линии. Для этого вам понадобится моток бечевки. Начните с того, что размотайте 1 метр бечевки и положите ее на пол.

Рис. 2.22

Но такая линия слишком прямая, чтобы быть береговой, поэтому давайте сделаем большой залив в этом прямом участке побережья. Размотайте еще бечевки – так, чтобы средняя треть заменялась двумя вдающимися отрезками той же длины:

Рис. 2.23

Но сколько бечевки потребовалось дополнительно размотать, чтобы сделать залив? Первая береговая линия состояла из трех отрезков по ⅓ м, в то время как новая линия состоит из четырех отрезков по ⅓ м. Итак, новая длина в 4/3 раза превосходит старую и составляет 4/3 м.

Но и новое побережье все еще слишком простое. Поэтому снова разделим каждый из меньших отрезков на три и заменим среднюю часть двумя сторонами той же длины. Вот какое у нас получится побережье:

Рис. 2.24

Какая у него длина? Что же, длина каждой из четырех частей была увеличена множителем 4/3. Итак, длина побережья теперь составляет 4/3 × 4/3 м =(4/3)² м.

Вы, наверное, догадались, как мы поступим дальше. Мы будем повторять процедуру разбиения прямых отрезков на три части и замены средней секции двумя линиями той же длины. Каждый раз, когда мы делаем это, происходит увеличение длины нашего побережья благодаря множителю 4/3. Повторение процедуры 100 раз приведет к удлинению береговой линии в (4/3)100 раз, и она превысит 3 миллиарда километров. Если распрямить эту бечевку, то она протянется от Земли до Сатурна.

Если бы мы могли поступить так бесконечно много раз, то получили бы бесконечно длинное побережье. Конечно, физика не позволяет нам уходить делением отрезков в бесконечно малые размеры, ограничивая нас планковской длиной. Это происходит потому, что, как считают физики, мы не можем измерить длины менее 10–35 м, не создав при этом черную дыру, которая поглотит измерительную аппаратуру. Но повторение нашего приема добавления все меньших и меньших заливов к нашей береговой линии после 74-го шага приведет к линиям, меньшим 10–35 м. Но математики – вовсе не физики: мы живем в мире, где отрезок можно разделить бесконечно много раз и при этом не исчезнуть в черной дыре.

Другой способ увидеть, что у береговой линий бесконечная длина, состоит в рассмотрении сегмента фрактала между точками А и B на рис. 2.25. Обозначим его длину L. Если мы увеличим этот сегмент побережья в три раза, то результатом будет точная копия всего побережья от А до Е. Тогда длина всей береговой линии будет 3L. С другой стороны, мы можем взять четыре копии меньшего сегмента и составить из них, располагая друг за другом, все побережье: от А до B, от B до C, от C до D и от D до E. С этой точки зрения длина всей береговой линии будет 4L, потому что для ее построения потребовались четыре копии меньшего сегмента. Но длина должна быть одинаковой, как бы мы ее ни измеряли. Каким же образом совместить 4 L = 3 L? Это уравнение может разрешить только L, равная либо нулю, либо бесконечности.

Рис. 2.25. Увеличьте меньший сегмент, идущий от A до B, в три раза, и вы получите больший фрактал. Но больший фрактал также можно получить, располагая друг за другом четыре копии меньшего сегмента

На самом деле бесконечная береговая линия, которую мы нарисовали, – это часть формы, называемой снежинкой Коха в честь ее изобретателя, шведского математика Хельге фон Коха. Он построил ее в начале XX в. (рис. 2.26).

Рис. 2.26

У этой математической формы слишком много симметрии, чтобы походить на настоящее побережье, она не выглядит слишком естественно или органично. Но вы можете добавить элемент случайности, касающийся того, идет ли добавляемая линия на сушу либо в море. И тогда все смотрится значительно убедительнее. Вот картинки (рис. 2.27), полученные той же самой процедурой, что и ранее, за одним исключением.

Рис. 2.27

Всякий раз перед добавлением линий вы бросаете монетку, чтобы решить, разместите ли вы их под удаляемой линией или над ней. Если объединить несколько подобных участков побережья вместе, то результат будет удивительно походить на средневековую карту Британии:

Рис. 2.28

Итак, если вам когда-либо зададут вопрос о длине береговой линии Британии, вы можете выбрать любой нравящийся вам ответ. Не о таких ли вопросах по математике мечтает каждый школьник?