Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Я все еще помню возбуждение, охватившее меня в тот день, когда я впервые «увидел» в четырех измерениях благодаря выученному языку, который позволял создавать эти формы в сознании. Изобретенный Рене Декартом словарь, преобразующий формы в числа, дает нам возможность видеть в четырех измерениях. Декарт понял, что зачастую видимый мир крайне трудно подвергнуть точному описанию, и ему захотелось создать четкое математическое подспорье для этого.

Головоломка на рис. 2.35 показывает, что не всегда можно доверять глазам. Как говорил Декарт, чувственное ощущение обманчиво.

Рис. 2.35. После расположения фигур в другом порядке кажется, что их суммарная площадь уменьшилась на одну клетку

Хотя на второй картинке лишь переместили формы с первой картинки, создается ощущение, что общая площадь уменьшилась на одну клетку. Как такое возможно? Дело в том, что, хотя и кажется, будто гипотенузы двух треугольников выстраиваются в одну линию, на самом деле они направлены под несколько отличающимися углами. Этого достаточно, чтобы при ином расположении фигур показалось, что потеряна единица площади.

Чтобы обойти проблему чувственного восприятия, Декарт создал эффективный словарь, который переводит геометрию в числа. Сейчас мы с ним хорошо знакомы. Когда мы смотрим на расположение какого-то города на карте, мы определяем его с помощью двух чисел координатной сетки. Эти числа фиксируют положение города относительно точки на экваторе, находящейся точно к югу от лондонского района Гринвич. Они определяют смещение от этой точки в направлении север – юг и восток – запад.

Например, Декарт родился во французском городе под названием… Декарт (впрочем, при его рождении город назывался Ла-Э-ан-Турен), расположенном на 47° северной широты и 0,7° восточной долготы. В словаре Декарта его родной город можно описать двумя координатами следующим образом: (0,7; 47).

Мы можем использовать схожую процедуру и для описания математических форм. Например, если я хочу описать квадрат, используя Декартов словарь координат, то скажу, что это форма с вершинами, расположенными в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1) и (1; 1). Каждая сторона квадрата определяется выбором двух вершин, отличающихся одной координатой. Так одна из сторон соединяет вершины (0; 1) и (1; 1).

Для плоского двумерного мира достаточно двух координат, чтобы задать положение любой точки, но если мы хотим дополнительно включить нашу высоту над уровнем моря, то понадобится третья координата. Она также необходима для описания трехмерного куба в терминах координат. Восемь вершин куба задаются координатами (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 1), (0; 1; 1) и, наконец, (1; 1; 1), которые соответствуют вершине, наиболее удаленной от первой.

Опять-таки, ребро проходит между двумя вершинами, отличающимися только одной координатой. Конечно, если вы взглянете на куб, то легко сосчитаете, сколько у него ребер. Но, если у вас нет куба или его зарисовки, вы можете сосчитать количество пар вершин, отличающихся одной координатой. Это нужно иметь в виду, когда мы переходим к формам, изображений которых у нас нет.

В словаре Декарта с одной стороны находятся формы и геометрия, с другой – числа и координаты. Беда в том, что иллюстративная сторона словаря не может идти далее трехмерных форм, потому что отсутствует четвертое физическое измерение, в котором мы могли бы видеть формы более высоких размерностей. Но красота словаря Декарта в том, что другая его сторона может продолжаться дальше и дальше. Чтобы описать четырехмерный объект, мы просто добавляем четвертую координату, которая фиксирует, насколько далеко мы заходим в этом новом направлении. И, хотя я не могу физически соорудить четырехмерный куб, я могу в точности описать его посредством чисел. У него 16 вершин: начинаясь с точки (0; 0; 0; 0), он доходит до точек (1; 0; 0; 0) и (0; 1; 0; 0) и простирается до самой удаленной точки (1; 1; 1; 1). Числа служат кодом для описания формы, и, пользуясь этим кодом, я могу исследовать данную форму без необходимости видеть ее физически.

Например, сколько ребер у этого четырехмерного куба? Каждому ребру соответствует пара точек, отличающихся одной координатой. Из каждой вершины выходят четыре ребра, отвечающие поочередному изменению одной из координат. Итак, у нас получается 16 × 4 ребер – или нет? Нет, потому что мы сосчитали каждое ребро дважды: один раз как исходящее из вершины на одном его конце и второй раз как исходящее из вершины на другом его конце. Значит, правильное выражение для количества ребер четырехмерного куба будет 16 × 4/2 = 32. И мы можем не останавливаться, а перейти в пять, шесть или даже большее число измерений и построить гиперкубы во всех этих мирах. Так, у гиперкуба в N измерениях будет 2N вершин. Из каждой вершины выходят N ребер, каждое из которых считается дважды. Поэтому у N-мерного куба будет N × 2N – 1 ребер.

Математика наделяет вас шестым чувством, позволяя играть с этими формами, существующими за пределами нашей трехмерной Вселенной.

Чтобы отпраздновать двухсотлетие Великой французской революции, президент Франции Франсуа Миттеран дал заказ датскому архитектору Йохану Отто фон Спрекельсену на воздвижение чего-то особенного в Ла-Дефанс, деловом квартале Парижа. Строение должно было находиться на одной линии с другими знаковыми зданиями и памятниками Парижа – Лувром, Триумфальной аркой и Луксорским обелиском, что стало называться перспективой Миттерана.

Разумеется, архитектор не разочаровал. Он соорудил Большую арку (La Grande Arche), которая настолько огромна, что внутри ее поместились бы башни собора Парижской Богоматери. Вес Большой арки составляет ошеломительные 300 000 тонн. К несчастью, фон Спрекельсен умер за два года до завершения работ над сооружением, ставшим достопримечательностью Парижа. Но, возможно, не все парижане, которые видят Большую арку каждый день, осознают, что в действительности фон Спрекельсен воздвиг посреди их города четырехмерный куб.

Рис. 2.36. Большая арка в Париже является тенью четырехмерного куба

Впрочем, это не совсем четырехмерный куб, потому что мы живем в трехмерной Вселенной. Но подобно тому, как художники эпохи Возрождения отваживались на отображение трехмерных форм на плоском двумерном холсте, так и архитектор в Ла-Дефанс зафиксировал тень четырехмерного куба в нашей трехмерной Вселенной. Чтобы создать иллюзию того, что мы видим трехмерный куб, когда глядим на двумерное полотно, художник мог бы нарисовать меньший квадрат внутри большего квадрата и затем соединить их вершины для окончания картины куба. Опять-таки это не совсем куб, но изображение наделяет зрителя достаточной информацией: мы видим все ребра и можем представить куб. Фон Спрекельсен воспользовался той же идей, чтобы построить проекцию четырехмерного куба в трехмерном Париже, состоящую из меньшего куба внутри большего куба, причем их вершины соединены ребрами. Если вы посетите Большую арку и тщательно сосчитаете их, то у вас получатся те же 32 ребра, что и в предыдущем разделе, где мы использовали Декартовы координаты.