Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье

Второй автомобиль ехал со скоростью 85 км/ч.

В качестве альтернативы используем стратегию анализа экстремумов. Предположим, что первый автомобиль движется чрезвычайно медленно, т. е. со скоростью 0 км/ч. В этом случае второй автомобиль проедет за одну минуту и догонит первый автомобиль. Таким образом, второй автомобиль должен двигаться со скоростью 30 км/ч. Первый автомобиль движется со скоростью 0 км/ч, а второй автомобиль — на 30 км/ч быстрее, чем первый. Если первый автомобиль будет иметь скорость 55 км/ч, то второй — 85 км/ч.

Даны два параллелограмма ABCD и APQR с точкой P на стороне BC и точкой D на стороне RQ, как показано на рис. 5.1. Если площадь параллелограмма ABCD 18, то чему равна площадь параллелограмма APQR?

Эта задача не такая уж простая. Первая попытка решить ее заключается в поиске признаков конгруэнтности, означающих равенство площадей. Этот метод не дает результата. Более разумно, хотя и не слишком оригинально, провести линию PD, как показано на рис. 5.2.

Теперь можно показать, что площадь треугольника APD составляет половину площади каждого из двух параллелограммов, поскольку в этот треугольник имеет общее основание с обеими параллелограммами и одинаковую высоту. Хотя это разумный подход к решению довольно сложной задачи, существует более изящный способ ее решения.

В условиях задачи просто говорится, что точка P лежит на стороне BC, но не указывается, где именно. Мы можем проанализировать экстремальную ситуацию. Можно, например, представить, что точка P совпадает с точкой B. Аналогичным образом можно представить, что точка D, лежащая на стороне RQ, совпадает с точкой R. В результате такого изменения, которое определенно соответствует исходным условиям задачи, два параллелограмма оказываются наложенными друг на друга и, следовательно, имеющими одну и ту же площадь. Таким образом, площадь параллелограмма APRQ равна 18.

Суммарное расстояние между съездами 1 и 20 на новой автомагистрали составляет 140 км. Между любыми двумя съездами должно быть не менее 7 км. Чему равно максимальное расстояние между любыми двумя соседними съездами?

Обычно пытаются подобрать различные комбинации чисел в надежде найти максимум. Существует, однако, более интересный подход.

Воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Прежде всего отметим, что между съездами 1 и 20 всего 19 «расстояний». Поскольку минимальное расстояние между любыми двумя съездами равно 7 км, рассмотрим экстремальную ситуацию, в которой все расстояния, кроме одного, равны 7 км. Тогда минимальная сумма 18 «расстояний» составит 18 × 7 = 126 км. Таким образом, максимальное расстояние между любыми двумя съездами равно 140–126 = 14 км, иначе не хватит километров, чтобы выдержать 7-километровую дистанцию между остальными съездами.

У нас есть две однолитровые бутылки. В одной — пол-литра красного вина, в другой — пол-литра белого. Мы берем столовую ложку красного вина, выливаем его в бутылку с белым вином и взбалтываем смесь. Затем мы берем столовую ложку полученной смеси (красного и белого вина) и выливаем ее в бутылку с красным вином.

Чего больше, красного вина в бутылке с белым вином или белого вина в бутылке с красным вином?

Существует несколько общепринятых подходов к решению такой задачи, в которых используют полученную из условий информацию, например о столовой ложке, которая может быть излишней. При определенном везении и сообразительности можно получить правильный ответ, однако это дело нелегкое, да и ответ нередко кажется неубедительным.

Понятно, что размер ложки не имеет реального значения, и что ложки могут быть как большими, так и маленькими. Допустим, мы используем очень большую столовую ложку, такую, которая вмещает пол-литра жидкости, — это будет экстремальная ситуация. После выливания пол-литра красного вина в бутылку с белым вином смесь будет состоять на 50 % из красного вина и на 50 % из белого. Перемешав смесь, мы берем пол-литровую ложку, наполняем ее и возвращаем смесь обратно в бутылку с красным вином. Смесь теперь одинакова в обеих бутылках. Это и есть наш ответ — красного вина в бутылке с белым вином столько же, сколько белого вина в бутылке с красным вином.

Найдите недостающие цифры в следующем семизначном числе, которое равно произведению трех последовательных чисел. Чему равны эти три числа? 1 2_ _ _ _6.

Можно просто попытаться угадать, подставляя различные цифры в надежде, что среди них окажутся искомые. Это крайне маловероятно, хотя и возможно.

Вместо догадок воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Наименьшее возможное число равно 1 200 006, а наибольшее — 1 299 996. Поскольку нам нужен ответ, представляющий собой произведение трех последовательных чисел, проанализируем кубические корни из этих экстремумов, чтобы определить примерную величину этих трех чисел.

Кубический корень из 1 200 006 равен примерно 106, а из 1 299 996 — примерно 109. Это значительно ограничивает простор для выбора. Кроме того, в заданном числе в разряде единиц стоит 6. Значит, три искомые последовательные числа должны оканчиваться либо на 1, 2 и 3, либо на 6, 7 и 8, поскольку их произведения дают 6 в разряде единиц. Имея две такие подсказки, не сложно определить, что искомыми числами будут 106, 107 и 108. Их произведение равно 1 224 936. Задача решена.