Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

В 2000 г. была опубликована книга греческого математика-вундеркинда Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха». Издатель Тоби Фабер предложил приз миллион долларов любому, кто решит задачу Гольдбаха в течение двух лет после выхода книги[24]. Это был настоящий шедевр маркетинга – максимальная шумиха при минимальном риске, – и действительно, претендентов на этот приз не нашлось. Так что теперь тому, кто решит эту задачу, придется удовольствоваться гораздо более скромным (хотя и гораздо более почетным) призом, который назначил Пал Эрдёш.

Решение задачи Гольдбаха, когда и если оно наконец будет найдено, может появиться с двух разных сторон: либо будет открыто четное число, которое невозможно представить в виде суммы двух простых чисел (что называется опровержением, или контрпримером), либо кто-нибудь обоснует причину, по которой все четные числа можно представить таким образом. Пока что было исследовано огромное множество четных чисел (до 1018), и все они могут быть записаны в виде суммы двух простых чисел. Тем не менее это ничего не значит. Даже если мы проверим все до единого четные числа вплоть до 1 000 000 000 000 000! (а это квадриллион факториал!) и выясним, что все они до единого могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел, вполне может оказаться, что следующее же четное число, 1 000 000 000 000 000! + 2, станет первым исключением из действовавшего в наших результатах правила и опровергнет гипотезу.

Вариация Гольдбаха

В книге «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда» Дуглас Хофштадтер предлагает рассмотреть следующую вариацию гипотезы Гольдбаха: можно ли представить любое четное число в виде разности двух простых чисел? Интересно, нельзя ли назвать эту гипотезу «вариацией Гольдбаха – Гольдберга»?

Начнем с начала: 2 = 5 – 3, 4 = 7 – 3, 6 = 11 – 5, 8 = 11 – 3. Разумеется, для некоторых чисел существует несколько вариантов: 10 = (41 – 31) = = (29 – 19) = (23 – 13) = (17 – 7) = (13 – 3).

Несмотря на ярко выраженное сходство этих двух задач, между ними есть фундаментальное различие. Рассматривая исходный вариант гипотезы Гольдбаха, мы можем запустить для любого четного числа компьютерную программу, которая проверит, дает ли это значение сумма двух простых чисел, причем сделает это за конечное время. Даже если такое число очень велико, мы можем быть уверены, что к какому-то моменту программа завершит работу – даже если мы сами до этого момента и не доживем. Во втором же варианте нет никакой гарантии, что компьютер когда-либо закончит свои вычисления. Возьмем произвольное число – скажем, 2010. Абсолютно невозможно определить заранее, когда компьютер закончит вычисления (и закончит ли их когда-либо), потому что, даже если мы проверим все до единого простые числа, скажем, до 12 345 678 910 и не найдем пары простых чисел, разность которых равна 2010, это не значит, что мы не найдем такой пары в будущем. Я использовал здесь число 2010 только для иллюстрации этой идеи. На самом деле компьютеру не составит особого труда выяснить, что число 2010 может быть выражено в виде разности двух простых чисел, например 2017 – 7, 2029 – 19, 2039 – 29 и других. Во всяком случае, эта задача радикально отличается от проверки возможности выражения числа 2010 в виде суммы двух простых чисел (что, как вы уже знаете, возможно: самый простой из нескольких существующих вариантов – 2003 + 7).

Различие состоит в следующем: при поиске ответа в отношении суммы существует конечное число возможностей: нужно лишь проверить все простые числа, меньшие самого искомого числа. В случае 2010 необходимо исследовать только лишь все простые числа до 2007 (самого большого простого числа до 2010). Даже если бы мы взяли не 2010, а 2010! это число все равно было бы конечным, и программа в конце концов пришла бы к тому или иному выводу, проработав в течение конечного времени (более долгого, чем кажется, но тем не менее конечного).

Когда же мы ищем ответ в отношении разности, количество чисел, больших заданного числа, бесконечно. Следовательно, количество разностей, которые, возможно, придется проверить, не ограничено, и может случиться так, что этот процесс не завершится никогда.

Пьер де Ферма (1607–1665) открыл одно интересное обстоятельство, связанное с простыми числами; оно называется «рождественской теоремой Ферма»[25]. Он показал, что любое простое число вида 4n + 1 (например, 5, 13, 17, 29…) есть сумма двух квадратов, а любое простое число вида 4n – 1 (например, 3, 7, 11, 19…) не может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Каждое простое число, кроме 2, – либо число вида 4n + 1, либо число вида 4n – 1 (докажите это утверждение самостоятельно). Например, 41 – простое число вида 4n + 1 (4 × 10 + 1), и его можно представить в виде суммы двух квадратов (5² + 4²). А вот 19 – простое число второго вида (4 × 5 – 1), и его невозможно представить в виде суммы двух квадратов. Хотя показать, что, например, число 19 не является суммой двух квадратов, легко, доказать рождественскую теорему Ферма в общем случае не так-то просто.

В книге «Апология математика» Г. Г. Харди приходит к заключению, что упомянутое открытие Ферма – пример «изящной математики» и красивейшая из математических теорем наравне с евклидовым доказательством бесконечности простых чисел.

Что же, раз мы заговорили о «заключениях», нам пора заключить этот раздел о тайной жизни простых чисел и отправиться в (безграничный) мир бесконечности.

Математическая теория бесконечности, как и почти все остальное в западной цивилизации, уходит корнями в Древнюю Грецию. Интересно отметить, что греческое слово ἄπειρον (апейрон), обозначающее бесконечность, имеет два значения. Одно из них – нечто неограниченное; второе имеет скорее отрицательный смысл – «нечто неопределенное». Понятие бесконечности впервые ввел в философию Анаксимандр, философ и астроном, ученик Фалеса и учитель Пифагора, живший в VI в. до н. э. В космологии Анаксимандра бесконечность считалась одной из основ мироздания, своего рода неограниченным, неопределенным материалом, который служит основой всего сущего. Некоторые из исследователей досократовской философии видят в Анаксимандре первого метафизика, который включил в греческую философию абстрактную концепцию бога.