Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Какое бы значение слова «апейрон» мы ни взяли, в мире Пифагора ему не было места. Как вы, разумеется, помните, Пифагор был убежден, что мир состоит из чисел, и все в нем может быть сведено к представлению, построенному при помощи натуральных, то есть положительных целых, чисел. По сути дела, натуральные числа были атомами Пифагора.

И ошибочность этого убеждения открыл не кто иной, как сам Пифагор.

Есть некая ирония в том, что препятствие на пути рассуждений Пифагора о том, что все на свете в конечном счете может быть выражено при помощи чисел, явилось, каким бы невероятным это ни показалось, именно из геометрии – когда сам Пифагор обнаружил, что соотношение между стороной квадрата и его диагональю невозможно выразить отношением натуральных чисел.

Сейчас объясню.

Начнем с квадрата, стороны которого имеют единичную длину. Обозначим длину его диагонали с:

Вот что говорит теорема, прославившая Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

В приложении к нашему чертежу это означает, что 1² + 1² = с², а следовательно, c = √2.

Отметим, что √2 – всего лишь символ, обозначающий число, которое, будучи умножено само на себя, дает число 2. Теоретически мы могли бы нарисовать цветок и сказать, что он обозначает число, квадрат которого равен 2. Очевидно, не существует такого целого числа, квадрат которого был бы равен 2 (поскольку 1 в квадрате равно 1, 2 в квадрате равно 4, а других целых чисел между 1 и 2 нет).

Но может ли существовать некая дробь a/b, такая, что при возведении ее в квадрат получает- ся 2? Здесь я напомню вам, что числа вида a/b, где a – целое число (которое может быть и нулем), а b – натуральное (то есть положительное целое) число, называются рациональными числами. Пифагор, несомненно, был бы очень рад, если бы такая дробь существовала, потому что это отлично согласовывалось бы с его философским воззрением, что все на свете может быть представлено натуральными числами.

Однако Пифагора ожидали чрезвычайно неприятные новости!

Сейчас мы докажем, что √2 никак не может быть выражен дробью вида a/b, где оба числа a и b – натуральные. Другими словами, мы докажем, что √2 – число не рациональное.

Для этого мы воспользуемся методом доказательства от противного, с которым мы уже встречались в этой книге. Другими словами, сначала мы предположим, что утверждение, которое мы хотим доказать, ложно, то есть что существуют такие два числа a и b, что a/b = √2. Затем мы покажем, что логические следствия из этого предположения приводят к противоречию.

Начнем наше доказательство с предположения, что a/b – приведенная дробь[27], то есть дробь, записанная с наименьшим возможным знаменателем (так, например, дроби 21/14 и 15/10 могут быть сведены к дроби 3/2). Чтобы доказать, что √2 – иррациональное число, достаточно показать, что не существует приведенной дроби, равной квадратному корню из 2. Такое дополнительное предположение относительно этой дроби пригодится нам для доказательства. Это предположение допустимо, потому что записать в приведенном виде можно любую дробь; следовательно, если не существует приведенной дроби, равной √2, то это означает, что не существует и вообще никакой дроби, которая была бы равна √2.

Итак, возьмем приведенную дробь a/b и предположим, что a/b = √2. Небольшое преобразование дает нам √2·b = a, а после возведения обеих частей этого равенства в квадрат мы получим 2b² = a². Из этого явно следует, что a² – четное число, что означает, что и число a должно быть четным. Следовательно, в предыдущем равенстве мы можем произвести подстановку a = 2k и получим:

Мы видим, что b² – четное число, что означает, что и число b должно быть четным.

Однако если оба числа a и b – четные, дробь a/b не может быть приведенной, потому что и числитель, и знаменатель можно разделить на 2. Следовательно, мы получили противоречие с предыдущим предположением о том, что мы начали с приведенной дроби. Другими словами, мы только что доказали, что √2 не может быть отношением двух целых чисел. Вывод: √2 должен быть числом иррациональным.

Ч. т. д.

Но каково значение того утверждения, которое мы только что доказали?

С точки зрения геометрии оно означает следующее: мы легко можем построить прямоугольный треугольник с катетами единичной длины и столь же легко построить его гипотенузу, но не можем точно определить длину этой гипотенузы относительно длин двух других сторон треугольника за конечное число шагов.

Столь простая геометрическая концепция – гипотенуза треугольника – опровергает основополагающий принцип философии Пифагора, который утверждает, что всё образовано из натуральных чисел. Легко вообразить, что вместе с радостью открытия Пифагор ощутил сильнейшее разочарование.

Мы можем пойти и другим путем – использовать калькулятор. Введите √2 и посмотрите, что из этого получится. Я получил число 1,4142136. Попробуйте умножить это число в столбик само на себя. Если это число – точное значение квадратного корня из 2, то результат его умножения само на себя должен быть точно равен 2. Но это не так! Если хотите, проверьте сами. Дело в том, что мы не получаем ровно 2, потому что калькулятор выдает лишь приближенное значение √2. Даже если купить самый лучший, самый совершенный калькулятор, выдающий больше десятичных знаков после запятой, результат все равно будет лишь приближением к √2, но никогда – точным значением √2.

Взяв вместо калькулятора компьютер, я получаю следующий результат:

Если вам нужно невероятно скучное занятие на дождливый вечер, попробуйте самостоятельно умножить это число само на себя и проверить, получится ли 2. Не получится. Вы снова получите некий результат, близкий к 2, но не равный 2.

Вот удобный способ понять, что такое иррациональное число: когда мы пишем, что √2 равен 1,4142135… очень трудно объяснить, что обозначает это многоточие в конце. Иррациональность числа подразумевает, что 1) его десятичное представление бесконечно, и 2) в нем никогда не возникают какие бы то ни было повторяющиеся структуры.