Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Будь Тьюринг жив сегодня, он бы наверняка принял самое активное участие в современных разработках в области вычислений, включая, весьма вероятно, и теоретические исследования в сфере квантовых компьютеров. Его работе не мешала бы первобытная нетерпимость к людям иной сексуальной ориентации, господствовавшая тогда и определенно поспособствовавшая его преждевременной смерти. Но неизменными остались бы понятия алгоритмов и универсальных вычислений, в становлении и развитии которых сыграла такую важную роль изобретенная им машина, удивительная по своей оригинальности и простоте.

Музыка в своей основе математична. Математику часто называют универсальным языком, который можно использовать для установления контакта с разумными существами из других миров. Но и музыке присуща та же универсальность, и кстати, мы уже отправили образцы земной музыки к звездам в надежде, что тамошние обитатели услышат ее и поймут что-то о существах, сотворивших ее.

Космический зонд “Вояджер-1”, запущенный 5 сентября 1977 года, недавно стал первым из созданных человеком объектов, вышедших в межзвездное пространство. Пролетев мимо Юпитера и Сатурна, он устремился к границам Солнечной системы и в 2012 году пересек гелиопаузу – границу, где заканчивается действие магнитного поля Солнца и начинается влияние общегалактического магнитного поля. “Вояджер-2”, запущенный в том же году, также направляется к звездам, но в другом направлении. Оба аппарата-близнеца остаются в контакте с Землей и отправляют домой данные о результатах немногочисленных научных экспериментов, на проведение которых пока хватает истощающихся запасов энергии; но ни один из них в обозримом будущем не приблизится к другой звездной системе. Скорость их так мала по сравнению с гигантскими межзвездными расстояниями, что им понадобились бы десятки тысяч лет, чтобы долететь даже до ближайшей звезды, Проксимы Центавра, и то только при условии, что они направлялись бы к ней по прямой траектории (а это не так).

По расчетам НАСА, “Вояджер-1” приблизится на расстояние 1,6 светового года к звезде Глизе 445, а “Вояджер-2” – на расстояние 1,7 светового года к звезде Росс 248 примерно через 40 000 лет. К этому нескорому времени ни один из аппаратов уже давно не будет функционировать. Но сами станции могут миллионы лет путешествовать по Млечному Пути, оставаясь в целости и сохранности, и, как знать, может быть, когда-то будут обнаружены представителями какой-нибудь развитой цивилизации, которые заинтересуются происхождением и создателями аппаратов. На этот маловероятный случай на борту каждого из зондов находится послание в виде позолоченной медной грампластинки, на которой записаны звуки и изображения, дающие представление о разнообразии форм жизни, среде и различных культурах на планете Земля. Помимо 116 изображений, коллекции звуков природы и приветствий на 57 языках, на золотой пластинке “Вояджера” записано 90 минут музыки различных эпох и стран мира, в том числе фрагменты “Весны священной” Стравинского, индонезийского гамелана, Бранденбургского концерта № 2 Баха и Johnny B. Goode Чака Берри. К пластинке предусмотрительно приложено устройство для воспроизведения записи и закодированные инструкции. Остается, правда, вопрос: если инопланетные существа, найдя одну из золотых пластинок, и умудрятся проиграть записанную на ней музыку, поймут ли они, что это такое? Впрочем, если, наоборот, нам когда-либо доведется услышать произведения инопланетных композиторов, сможем ли мы признать в этих звуках музыку?

Золотая пластинка “Вояджера”.

Один из авторов этой книги (Дэвид) – автор и исполнитель песен, записавший альбом Songs of the Cosmos[26], в котором объединяются наука и музыка, например, в композиции Dark Energy[27]. Но наука в музыке не ограничивается песнями на научную тематику, она – органичная часть самого процесса создания музыки. Математика лежит в основе соотношений между нотами и самой структуры музыкальных строев.

Первыми существование тесной связи между музыкой и математикой открыли древние греки. Пифагор и его последователи в VI веке до нашей эры построили целый культ вокруг учения о том, что “в основе всего лежит число”, а особняком среди всех стоят целые числа. Каждое из чисел от 1 до 10, считали они, имеет уникальный характер и назначение: 1 – основа всех остальных чисел, 2 олицетворяет суждение, 3 – гармонию, и так далее до числа 10, которое имело название “тетрактис” и считалось самым важным, поскольку является треугольным числом, представляющим собой сумму первых четырех чисел – 1, 2, 3 и 4. Четные числа считались женскими, а нечетные – мужскими. Пифагорейцев очень обрадовало их открытие, что самые гармонично звучащие интервалы в музыке соответствуют отношениям целых чисел. Те самые числа, которые так почитались на интеллектуальном уровне, в соотношении друг с другом еще и определяли наиболее благозвучные сочетания нот. Вибрирующая струна, прижатая на половине ее длины (1:2), звучит на октаву выше, чем открытая. Струна, прижатая таким образом, чтобы длина ее вибрирующей части относилась к полной длине как 2:3, дает интервал, называемый чистой квинтой (поскольку это пятая нота в гамме, а в сочетании с основным тоном она дает гармонически чистое звучание). Аналогично отношение 3:4 дает чистую кварту, а 4:5 – большую терцию[28]. Поскольку частота звука зависит от единицы, деленной на длину струны, эти дроби также указывают на соотношение между частотами нот.

Самое простое (помимо октавы) соотношение – чистая квинта – служит основой “пифагорова строя”, названного так потому, что современные музыковеды приписывают его создание Пифагору и его единомышленникам. Возьмите какую-нибудь ноту, например ре. Теперь возьмите ноты на чистую квинту выше и на чистую квинту ниже – получите ля и соль того же звукоряда. Чтобы получить следующие ноты, отложите чистую квинту вверх от ля и чистую квинту вниз от соль, и так далее. В конце концов мы получим вот такой звукоряд из 11 нот с ре в середине:

В таком виде этот ряд охватывает очень широкий диапазон частот. Чтобы сыграть его на фортепиано, понадобится 77 клавиш. Чтобы сделать его более компактным, низкие ноты переносят в более высокую октаву, удваивая или учетверяя их частоту, а высокие ноты таким же образом переносят вниз на одну-две октавы. В результате такого “сжатия” получается базовая октава. Пифагоров строй использовался западными музыкантами почти до конца XV века, пока не стали очевидны его недостатки: многие произведения было просто невозможно исполнить на настроенных таким образом инструментах.