Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Восхищение, в которое привела пифагорейцев открытая ими связь между простыми соотношениями длин вибрирующих струн и благозвучием музыкальных интервалов, и их убежденность в том, что в основе вселенной лежат целые числа, заставили их свято уверовать в то, что и в небесах действуют те же законы гармонии между музыкой и математикой. Согласно космологии пифагорейцев, в центре физического пространства находится великий огонь. Вокруг него по прозрачным сферам движутся по кругу десять небесных тел, по порядку от центра: Противоземля, Земля, Луна, Солнце, пять известных планет, или “странствующих звезд” (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн), и, наконец, неподвижные звезды. Промежутки между сферами соответствуют гармоническим соотношениям длин струн, поэтому движение сфер производит звук (неслышимый для человеческого уха), называемый “гармонией сфер”.

Греческие слова harmonia (“соединение”, “согласие”) и arithmos (“число”) восходят к одному индоевропейскому корню, ar, который также встречается в таких словах, как rhythm (“ритм”) и rite (“ритуал”). Гармония, кроме того, это еще и греческая богиня мира и согласия – подходящее призвание, если учесть, что ее родителями были богиня любви Афродита и бог войны Арес. Представление пифагорейцев о том, что музыкальные гармонии заложены в самом расстоянии между небесными телами, сохранялось до конца Средневековья. Философские принципы Musica Universalis (музыки вселенной) стали частью квадривиума – академического цикла из четырех дисциплин, включающего арифметику, геометрию, музыку и астрономию, который преподавался в средневековых университетах Европы после тривиума (грамматики, логики и риторики) и был основан на высшей ступени платоновской системы образования. В основе квадривиума лежало изучение чисел в различных формах: чистых чисел (арифметика), чисел в абстрактном пространстве (геометрия), чисел во времени (музыка) и чисел в пространстве и времени (астрономия). Вслед за Пифагором увидел тесную связь между музыкой и астрономией и Платон, считая их воплощением красоты простых математических соотношений: музыка услаждает слух, астрономия – взор. Воздействуя на разные органы чувств, и то и другое выражает единство, обусловленное лежащей в их основе математикой.

Более двух тысяч лет спустя немецкий астроном Иоганн Кеплер пошел еще дальше в развитии концепции “музыкального космоса”, попытавшись связать в единое “небесное” целое платоновы тела и мелодичные звуки. Кеплер верил в астрологию и был глубоко религиозен, как и многие другие интеллектуалы того времени, но он был также одним из выдающихся деятелей научной революции эпохи Возрождения. Наибольшую известность Кеплеру принесли три закона движения планет, сформулированные им на основе результатов астрономических наблюдений датского аристократа Тихо Браге. В начале своей карьеры Кеплер увлекся идеей существования некоей геометрической основы, которой обусловлены промежутки между планетными орбитами. В изданном в 1596 году труде Mysterium Cosmographicum (“Тайна мироздания”) Кеплер дополнил предложенную ранее польским астрономом Николаем Коперником модель Солнечной системы, согласно которой Земля и другие планеты обращаются вокруг Солнца. Он предположил, что расстояния между орбитами планет не случайны, а ключ к их разгадке содержится в платоновых телах – правильных выпуклых многогранниках, коих в трехмерном пространстве всего пять. Кеплер считал, что, описав вокруг этих тел сферы и вписав их друг в друга в определенном порядке – октаэдр, икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и куб, – можно получить орбиты, по которым движутся шесть известных планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн). Как знать, возможно, Господь Бог не нумеролог, как считали пифагорейцы, а геометр?

Не ограничившись догадками, Кеплер провел акустический эксперимент (напомним, речь идет о начале XVII века, когда проверка предположений на практике была внове для ученых). Используя монохорд[29] и меняя с помощью подвижного прижима длину звучащей части струны, он оценил на слух, какие из получаемых тонов самые благозвучные. Помимо квинты, занимавшей особое место в учении пифагорейцев о гармонии, он также обратил внимание на гармоничное звучание терции, кварты, сексты и других интервалов. Ученого заинтересовало, не определяют ли те же гармоничные пропорции и движение небесных тел – ведь это позволит вдохнуть новую жизнь в древнее учение о гармонии сфер, приведя его в соответствие с новейшими научными наблюдениями. Возможно, отношения самых больших и самых малых расстояний между планетами и Солнцем согласуются с некоторыми из найденных им гармоничных интервалов? Но нет, предположение не оправдалось. Тогда он стал изучать значения скорости движения планет в точках, наиболее и наименее удаленных от Солнца, в которых, согласно его наблюдениям, планеты движутся соответственно медленнее и быстрее всего. Ведь движение – более близкий аналог вибрации струны, чем расстояние. И вот, кажется, связь найдена! Соотношение предельных орбитальных скоростей Марса (измеренных через угловое перемещение планеты по небу) составляло примерно 2: 3, что соответствовало чистой квинте, или “диапенте”, как ее называли до конца XIX века. Предельные скорости Юпитера соотносились как 5: 6 (малая терция в музыке), а Сатурна – приблизительно как 4: 5 (большая терция). То же соотношение для Земли составляло 15: 16 (что примерно соответствует разнице между нотами ми и фа), а для Венеры – 24: 25.

Кеплер считал, что промежутки между орбитами известных в то время планет соответствуют вложенным друг в друга платоновым телам.

Воодушевленный найденными соответствиями (которые, как выяснилось позже, были случайным совпадением), Кеплер занялся поиском менее очевидных космических гармоний. Изучив соотношения между скоростями соседних планет, он пришел к выводу, что гармоничные пропорции лежат в основе не только движения отдельных планет, но и их взаимного движения друг относительно друга. Все свои открытия ученый объединил во всеобъемлющую теорию, связывающую благозвучные интервалы в музыке с движением небесных тел, и в 1619 году обнародовал ее в главном труде своей жизни – трактате Harmonices Mundi (“Гармония мира”).

Вскоре после этого Кеплер сделал открытие, известное сегодня как третий закон движения планет, или третий закон Кеплера. Он обнаружил точное соответствие между временем, за которое планета совершает полный оборот вокруг Солнца, и ее расстоянием до светила, а именно: квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца прямо пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты. Этот закон и поныне входит в школьную программу, но сформулирован был в ходе мистических штудий Кеплера, искавшего гармоническую структуру космоса.

Кеплер помог вывести астрономию на современный этап ее развития, сделав важнейшее открытие: орбиты планет имеют не круговую, как считалось в древности, а эллиптическую форму. Оно заложило основу для ньютоновской теории тяготения. Менее очевидная его ценность состоит в том, что оно подготовило почву для создания новых, более гибких музыкальных строев. Проводя свои акустические эксперименты, Кеплер заинтересовался: существует ли минимальный, базовый интервал – наименьший общий делитель, – с помощью которого можно построить все остальные гармонии? Оказалось, что нет. Так же как орбиты планет представляют собой неидеальные окружности, в музыке не существует и простого, ясного способа добиться консонанса – слитного, согласного звучания, – используя лишь один базовый интервал. Особенно очевидным это становилось при попытке изменить тональность музыкальной пьесы.