Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье

Данные можно организовать по-другому и также получить довольно изящное решение. Мы уже определили, что сложить нужно 125 целых чисел, каждое из которых состоит из трех цифр, а значит всего нам необходимо принять во внимание 375 цифр. Понятно, что каждое из пяти нечетных цифр — 1, 3, 5, 7 и 9 — встречается 75 раз, т. е. 25 раз в каждом разряде (в разряде сотен, десятков и единиц). Это можно представить в виде формулы следующим образом:

В каждом из приведенных примеров организации данных решение задачи становится значительно более изящным, чем в случае использования лобового метода.

Допустим, у нас есть 11 линий, лежащих в одной плоскости, при этом три линии проходят через точку P, а три линии имеют общую точку Q. Никакие другие три линии, кроме этих, не пересекаются. Чему равно минимальное количество точек пересечения этих 11 линий при таких условиях?

Чаще всего эту задачу пытаются решить методом проб и ошибок, но довольно большое количество линий (11) делает такой подход проблематичным. Таким образом, должен быть какой-то другой, более эффективный способ решения подобной задачи.

Чтобы решить такую задачу, нужно организовать линии логичным образом. Начнем с построения трех линий, пересекающихся в точке P, как показано на рис. 7.6.

Повторим эту процедуру с точкой Q, построив линии l3||l4 и l2||l5, как показано на рис. 7.7.

Затем проведем шесть оставшихся линий параллельно линии l2. Это показано на рис. 7.8. Каждая из этих линий добавляет три новые точки пересечения.

Таким образом, в результате организации исходных данных логичным образом мы получаем следующее количество точек пересечения: 6 × 3 + 4 = 22.

Если напечатать все числа от 1 до 1 000 000, сколько раз в них встретится цифра 8?

Обычно в ответ на такой вопрос, который кажется ошеломляющим, начинают составлять список чисел без какого-либо намека на их организацию. При таком подходе решение зависит от того, удастся ли увидеть какую-нибудь закономерность в числовом ряду.

Лучшая стратегия здесь заключается, пожалуй, в организации данных таким образом, чтобы можно было выявить любую закономерность в списке, если она существует.

В представленных выше шести разрядах миллиона цифры 0, 1, 2, 3, 4, …, 8 и 9 используются равное количество раз. Это понятно потому, что каждую «комбинацию» можно составить из каждой из 10 цифр. Таким образом, цифра 8 должна появиться в случаев, или 600 000 раз.

У продавца двое часов, которые бьют полночь одновременно. Однако одни часы спешат на 1 минуту в час, а другие отстают на 1 минуту в час. Если такая разница сохранится и дальше, то через какое время их показания совпадут?

Первая мысль — составить уравнение. Если обозначить за x время, через которое показания часов совпадут, то мы получим 12 + x = 12 — x. Решение этого уравнения дает 2x = 0, и x = 0. От такого решения толку мало.

В сутках 24 часа, за это время часы A уйдут вперед на 24 минуты, а часы B отстанут на 24 минуты. Через пять дней часы A уйдут вперед на 5 × 24 = 120 минут, или на 2 часа. В свою очередь часы B будут отставать на 120 минут, или 2 часа каждые пять дней. Воспользуемся нашей стратегией и представим данные в табличной форме.

Из таблицы видно, что на табло обоих часов будет 6:00 в конце 15-го дня. Конечно, одни из них будут показывать 6:00 a.m., а другие — 6:00 p.m. Тем не менее показания совпадут, а именно это и требовалось найти в задаче.

Сколько существует положительных трехзначных нечетных чисел, произведение цифр которых дает число 252?

Чаще всего начинают искать тройки множителей, произведение которых равно 252. Иначе говоря, выписывают наборы из трех цифр, дающие при перемножении 252. Это следует делать упорядоченно, начиная с цифр 1, 1, 252, за которыми следуют 1, 2, 126, затем 1, 3, 84, за ними 1, 4, 63 и т. д. Можно перебирать цифры таким образом до тех пор, пока не попадется хотя бы один набор, который даст нечетное трехзначное число. Не исключено, однако, что таких наборов несколько. Можно ли с уверенностью сказать, что найдены все возможные варианты? «Лобовой» подход не дает нам такой уверенности.

Попробуем применить нашу стратегию организации данных. Можно разложить число 252 на множители 2 × 2 × 3 × 3 × 7. Если одна из цифр 7, то другие цифры должны давать при перемножении 36, т. е. 4 и 9 или 6 и 6, поскольку все другие комбинации включают в себя множители, имеющие более одного знака. Комбинируя эти цифры с 7, мы находим пять чисел, которые удовлетворяют условиям задачи. Это 749, 479, 947, 497, 667 — все они нечетные трехзначные числа, а произведение их цифр равно 252.