Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства - Леонард Млодинов

Алексею и Николаю невдомек, что существуют палочки, воткнутые в песок; они не могут наблюдать никакого Солнца, отбрасывающего тени от этих палочек. Лодка, исчезающая за горизонтом, для них — плоская, у нее ни корпуса, ни мачт. Все подсказки о том, что наша планета круглая, подмеченные древними, исчезнут, а Николаю и Алексею будет известны лишь расстояния и отношения между точками в их пространстве. Без намеков из третьего измерения Евклид и сам заключил бы, что это пространство — неевклидово.

Треугольники на глобусе

Представим древнего ученого по имени Неевклида. Сидит она себе в своем кабинете в академии и приходит к тем же выводам, что и наш старик Евклид. Но прежде чем обнародовать свои «Начала», она желает проверить, приложимы ли ее теории к пространству за пределами стен академии, т. е. к широкомасштабной геометрии пространства. Ее ученик Алексей приносит ей карту из библиотеки — см. рисунок на стр. 185. На карте видно, что габонский Либревиль располагается на нулевой широте, 9° ВД в вершине прямоугольного треугольника, две другие вершины которого приблизительно приходятся на нигерийский Кано (24°) и угандийскую Кампалу. Одна из основных теорем евклидовой геометрии — теорема Пифагора. Неевклида просит Алексея произвести расчеты и проверить ее. Алексей докладывает:

Неевклида, взглянув на результаты, выговаривает Алексею: нерадивый ты счетовод. Однако, проделав повторный расчет собственноручно, Неевклида обнаруживает, что Алексей прав. Тогда Неевклида применяет другой оборонительный прием теоретика: она списывает расхождения в расчетах на экспериментальную ошибку. Отправляет в библиотеку другого своего ученика, Николая, чтобы он собрал больше данных. Николай возвращается с координатами вершин треугольника пообширнее: Либервиль, итальянский Кальяри (39° CШ) и колумбийская Лерида (71° ЗД). Этот треугольник тоже отображен на карте. Николай вычисляет:

Неевклиде все это не нравится. Расхождение стало еще больше. Как мог ее коллега Непифагор так сильно ошибаться? Как так вышло, что Неевклида, померив уйму треугольников, ни разу не заметила этой нестыковки? «Те треугольники, — вмешивается Алексей, — были крошечными, а эти — громадные». Николай замечает, что чем больше треугольник, тем больше расхождение. Он выдвигает предположение, что все треугольники, которые им приходилось изучать, они измеряли в их крошечной лаборатории или в городе, и расхождения оказывались столь малы, что остались незамеченными.

Неевклида решает потратить кое-какие грантовые деньги и отправить Алексея и Николая в экспедицию в Нью-Йорк. Там по ее поручению, на 40°45’ СШ и 74°00’ ЗД, Николаю предстоит пройти расстояние в десять минут долготы на запад и оказаться примерно в центре Ньюарка. Николаю же поручено пройти десять минут широты на север — он окажется таким образом в Нью-Милфорде, штат Нью-Джерси. С хорошей точностью эти три точки образуют прямоугольный треугольник со следующими длинами сторон: Нью-Йорк — Нью-арк 8,73 мили; Нью-Йорк — Нью-Милфорд 11,53 мили; Нью-Милфорд — Ньюарк, 14,46 мили.

Неевклида проверяет выполнение теоремы Пифагора:

Для достаточно маленьких треугольников все получается. У Неевклиды в голове уже созревают зачатки неевклидовой геометрии, и она отправляет своих учеников в еще одну, последнюю экспедицию.

На сей раз Алексею и Николаю предстоит пройти по морю от Нью-Йорка до Мадрида (40° CШ, 04° ВД), т. е. практически строго на восток. Этот путь им нужно проделать не единократно, всякий раз слегка меняя маршрут и измеряя точную протяженность пути. Их задача, как некогда у Колумба, — выявить кратчайшее расстояние между этими заданными точками, или обнаружить геодезическую прямую. Работа эта — на несколько лет, но статья, которую потом можно опубликовать, обещает настоящий фурор.

Если плыть по прямой от Нью-Йорка до Мадрида, т. е. строго вдоль линии широты, выйдет ли маршрут кратчайшим? Нет. Оказывается, нужно плыть вдоль странной кривой, обозначенной на карте, сначала направляясь на северо-восток, а потом постепенно сворачивая на юг, покуда курс не выровняется на юго-восток. Той же траекторией катится шар для боулинга, если ничто ему не мешает, и мигрируют некоторые гениальные птицы[178], например, американские ржанки или таитийские кроншнепы. Так же натягивали от точки к точке веревку и двухмерные египетские умельцы-строители.

Все это легко понять, если представить, как выглядит Земля из космоса. «Строго на восток» в странствиях по глобусу не реализуется, поскольку направления «север» и «восток» — не фиксированные. При перемещении из Нью-Йорка в Мадрид направления, называемые «на восток» или «на север», вращаются в трехмерном пространстве. Кратчайшая траектория между Нью-Йорком и Мадридом — или между любыми другими двумя точками на земном шаре — кривая, называемая большим кругом (это круг на земном шаре, центр которого совпадает с центром Земли; это самые большие окружности, какие можно изобразить на земной поверхности, отсюда и название). Большие круги — аналоги линий Пуанкаре во вселенной Пуанкаре, линии, которые мы по привычке называем прямыми, и они выполняют роль прямых в евклидовых аксиомах. Линии широт — большие круги, равно как и экватор, но лишь он — кривая с постоянной широтой (центры всех остальных кругов с постоянной широтой располагаются выше или ниже по оси Земли).

Нью-Йорк — Мадрид

Вид из космоса местным вроде Неевклиды не ведом. Для нее «центра Земли» не существует, а также не существует «космоса», и Гаусс доказал, что такое возможно. Неевклида, воодушевленная результатами Алексея и Николая, заключила бы, что пространство, в котором она живет, — неевклидово: не гиперболическое, а похожее на поверхность шара, т. е. эллиптическое.

В неевклидовом пространстве все большие круги пересекаются. Суммы углов в треугольнике всегда больше 180° (в гиперболическом пространстве — меньше). В треугольнике, образованном экватором и двумя линиями долгот, соединяющих экватор с Северным полюсом, к примеру, сумма углов составляет 270°. Как и в случае гиперболического, это пространство на малых расстояниях тоже смахивает на евклидово, оттого отклонения так долго и не замечали. Например, превышение суммы углов в треугольнике привычных 180° уменьшается по мере уменьшения самих треугольников.