Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства - Леонард Млодинов

Применим ли этот постулат к отрезкам больших кругов сферы? До Римана второй постулат интерпретировали в том значении, что должен существовать отрезок сколь угодно большой длины. Но у большого круга есть предел — длина окружности, в 2π раз больше радиуса этой самой сферы.

Даже в математике иногда полезно нарушать законы. Риман стал Розой Паркс, отказавшейся пересесть в хвост автобуса[182]: он поставил под вопрос не неправедное, но неоправданное. Он постановил, что второй постулат описывает не существование сколь угодно длинных отрезков, а лишь гарантирует, что у прямых нет конца, а это верно для больших кругов. Математический Верховный суд — сообщество математиков, — услышав это, почесал в затылках. Каковы последствия новой интерпретации закона юным Риманом? Не противоречит ли это другим законам? Можно ли сделать его не противоречащим?

Вторым постулатом нестыковки не исчерпались. Риманово понятие прямой привело к другим затруднениям, которым Риман не имел объяснений. Например, большие круги нарушают допущение, что две прямые могут пересекаться лишь в одной точке. Как и линии долгот, пересекающиеся на обоих полюсах, все большие круги пересекаются в двух точках на противоположных сторонах сферы.

Понятие промежуточности тоже оказалось непросто интерпретировать. Евклид основывал это понятие на первом постулате:

Чтобы найти точку между двумя другими, Евклид рисовал отрезок, соединяющий эти две точки. Любая точка (отличная от концевых) на этом отрезке находится «между» двумя концевыми. Каверза модели Римана заключается в том, что любые две точки можно соединить по окружности двумя способами. Индонезия — она между экваториальной Африкой и экваториальной Южной Америкой? Чтобы ответить на этот вопрос, можно провести линию вдоль экватора, соединяющую два континента, и проверить, проходит ли она через Индонезию. Но в рамках римановой модели можно попасть из Южной Америки в Африку, отправившись хоть на запад, хоть на восток. Один маршрут проходит через Индонезию, а другой — нет.

Из-за этой неопределенности все евклидовы доказательства применительно к земному шару, связанные с построением отрезков между точками, грешат негодными формулировками. А это приводит к причудливым последствиям. Например, представьте сферическую вселенную Римана с радиусом в 40, а не 4000 миль, как у Земли. В один погожий день глянете вы вперед — и увидите собственный зад. А этот самый зад — он перед вами или позади вас? Или возьмем обруч. Его радиус — 1 метр. Вот крутите вы обруч на талии и спрашиваете: внутри вы обруча или нет? Вроде бы очевидно, что да. Теперь мысленно увеличьте обруч — до размеров гоночной трассы, миля в ширину. Для обруча великоват, но по сравнению с радиусом планеты в 4000 миль — мизер. Стоя в центре, вы все еще можете с уверенностью утверждать, что вы — внутри. А теперь увеличьте обруч до радиуса в 4000 миль. Обруч опоясал планету, как экватор, и тут-то вдруг ваше положение по отношению к обручу становится спорным: вы внутри или снаружи? А если еще больше увеличить радиус обруча, чтобы его окружность раздалась от вас во все стороны, — и тут он вдруг на самом деле схлопывается. В конце концов он окажется тем же, каким мы впервые его представили, — в метр радиусом, но его центр теперь находится в точке на другой стороне мира от вас. И вроде бы вы получаетесь снаружи его. Как можно переместиться изнутри наружу, всего лишь увеличивая размеры обруча? С низложением понятия «между» понятия «сзади» и «спереди», «внутри» и «снаружи» более не просты. Таковы противоречия наивного эллиптического пространства.

Избавиться от этих затруднений можно лишь путем аккуратного переопределения многих понятий. Как обычно, Гаусс предвидел и это. В 1832 году он писал Вольфгангу Бойяи: «В полном своем развитии смысл слов вроде “между” должен основываться на ясных понятиях, которые можно добыть, но я их пока не обрел»[183]. В этом Риман ему тоже не помог. Но, сосредоточившись в основном на малых областях поверхности, Риман глобальными противоречиями вроде тех, что мы только что обсудили, похоже, не интересовался и не боялся их. И, невзирая на эти открытые вопросы, лекция Римана считается одним из шедевров математики. Но все же из-за этих неувязок она не озарила вселенную математики подобно фотонной торпеде[184]. Гаусс вскоре после этой лекции умер. Риман продолжил разбираться в вопросах местной структуры, нежели широкомасштабной геометрии пространства, и его работа не имела серьезного прижизненного научного влияния.

В 1857 году в тридцать один год Риман в конце концов стал ассистентом профессора — с унылым жалованьем, приблизительно эквивалентным тремстам долларов в год. На это ученый жил сам и поддерживал трех своих сестер, однако самая младшая, Мари, вскоре умерла. В 1859 году умер Дирихле, заменивший Гаусса на его посту, и Риман сам занял место Гаусса. Три года спустя, в тридцать шесть, он женился. На следующий год у него родилась дочка. Теперь уже с приличным достатком и молодой семьей жизнь Римана вроде бы начала налаживаться. Но, увы, ненадолго. Он подхватил плеврит, переросший в туберкулез, который и добил его — как и его сестер в юные годы — всего в тридцать девять.

Работа Римана в дифференциальной геометрии стала краеугольным камнем общей теории относительности Эйнштейна. Не прояви Риман неосмотрительность, включив в свой список тем геометрию, и не будь Гаусс таким настырным, выбрав эту тему, математический аппарат Эйнштейна, потребный для его революции в физике, не существовал бы. Но еще до начала переворота труды Римана по эллиптическим пространствам произвели не менее мощное действие на мир математики. Необходимость видоизменять не только постулат параллельности, но и прочие, оказалась равносильна перетиранию прядей в веревке — и веревка вскоре лопнула. И лишь тогда математики осознали, что на этой веревке висела не только геометрия, но и вся математика.

Лекция Римана 1854 года дождалась публикации лишь в 1868-м — через два года после его смерти и через год после книги Бальцера, пролившей свет на работы Бойяи и Лобачевского. Последствия наработок Римана мало-помалу показали, что Евклид совершил ошибки нескольких разновидностей: он сделал множество негласных допущений, другие толком не доформулировал, а кроме того, попытался определить больше, чем было возможно.