Игра в имитацию - Эндрю Ходжес

Ответ оставался неизвестным. Не существовало ни единого способа проверить заранее, что таблица сможет произвести бесконечную последовательность цифр. Мог существовать способ для одной определенной таблицы, но не для всех. Ни один механистический процесс и ни одна машина не могли работать над всеми таблицами переходов. Лучшим советом в такой ситуации оставалось: возьми таблицу и попробуйте ее выполнить. Но при таком подходе требовалось неограниченный запас времени, чтобы выяснить, произведет ли таблица бесконечную последовательность цифр. Ни одно правило не могло быть применено к любой таблице с той гарантией, что она предоставит ответ за конечный промежуток времени, что и требовалось для записи диагонального числа. Поэтому процесс Кантора не мог быть механизирован, а невычислимое диагональное число соответственно не могло быть вычислено. Таким образом, идея избавилась от своего внутреннего противоречия.

Дескриптивные числа, которые производили числа с бесконечным десятичным рядом, Алан назвал «удовлетворительными числами». Так он показал, что не существует особого способа определить «неудовлетворительное число». Ему удалось точно установить пример того, в существовании чего Гильберт сомневался — неразрешимой проблемы.

Были и другие способы продемонстрировать, что ни один «механистический процесс» не мог исключить неудовлетворительные числа. Самым эффектным сам Алан считал тот способ, который ставил вопрос с самоссылкой. Поскольку, если такая машина для проверки и существовала, способная определить нахождение неудовлетворительных чисел, она могла быть применена по отношению к самой себе. Но в таком случае, как он доказал, это привело бы к внутреннему противоречию. Поэтому такой машины быть не может.

Так или иначе ему удалось обнаружить неразрешимую проблему и теперь требовалось решить лишь технические вопросы, чтобы доказать, что решение вопроса Гильберта соответствовало той форме, в которой он был изложен. Можно было сказать, что программа Гильберта получила смертельный удар в лице юного Алана Тьюринга. Ему удалось доказать, что математика никогда не будет исчерпана никаким конечным множеством операций. Он коснулся проблемы в самом ее сердце и решил ее при помощи одного простого, но не лишенного особого изящества наблюдения.

Однако это была не просто математическая уловка или его логическая изобретательность. В ходе решения проблемы он сумел создать нечто новое — саму идею своих машин. И следовательно, оставался один вопрос: действительно ли включало его описание такой машины то, что могло считаться «определенным методом»? Достаточно ли было такого набора действий: считывания и записи информации, перемещения и остановки считывающего устройства? Было крайне важно, чтобы это в действительности было так, поскольку в обратном случае всегда будет таиться подозрение, что некоторое расширение функций устройства позволило бы ему решить больший ряд проблем. Чтобы ответить на эти вопросы, Алану пришлось продемонстрировать способность его машин вычислять любое математическое число. Он также показал, что его машина могла обладать программой производства каждого доказуемого утверждения в рамках представления Гильберта о математике. Также он предоставил работу с всесторонним изучением вопроса, которая по праву считалась одной из наиболее захватывающих математических исследований, в котором он смог объяснить определение на примере того, какой процесс происходит в сознании человека, когда производит вычисление, записывая его на бумаге:

Вычисление обычно выполняется путем записи определенных символов на бумаге. Предположим, что лист бумаги поделен на квадраты, в точности как в тетради в клетку. В элементарной арифметике порой используется двумерность бумаги. Но этого можно избежать; также я считаю, что многие согласятся с отсутствием в том необходимости для производимых вычислений. Поэтому смею предположить, что вычисление может быть выполнено на одномерном листе бумаги, то есть на ленте, разделенной на квадраты. Также предположу, что количество возможных напечатанных символов конечно. Если мы допустим, что число символов может быть бесконечным, тогда появилась бы возможность существования символов, различных в произвольно небольшой степени.

«Бесконечное число символов» не соответствовало ничему в реальности. Есть немало оснований возразить тому, что существует бесконечное число символов, поскольку такая арабская цифра, как 17 или 999999999999999 обычно рассматривается в качестве одного символа. Подобным образом в любом европейском языке слова рассматриваются как отдельные символы (хотя китайский язык, например, стремится обладать счетным бесконечным множеством символов).

Но ему удалось избавиться от этого возражения при помощи своего наблюдения, что различия, с нашей точки зрения, между простыми и составными символами заключаются в том, что составные символы, если они слишком длинные, не могут быть оценены при одном взгляде на них. Это жизненный факт. Мы не можем с первого взгляда определить являются ли 9999999999999999 и 9999999999999999 одним числом.

Таким образом, он считал себя вправе ограничить функции машины заданным набором действий. Дальше он выразил наиболее важную идею для своего исследования:

Действия компьютера в любой момент времени строго определены символами, которые он считывает, также как и его «состояние» в текущий момент. Мы можем предположить, сто существует некоторый предел B для числа символов или ячеек, которые компьютер может считывать за одну единицу времени. Чтобы считать следующие символы, ему придется сделать шаг к следующей ячейке. Также предположим, что число подобных состояний, которые должны быть приняты во внимание, также конечно. Причины тому по своей природе схожи с теми, что возникают при ограничении количества символов. Если мы допустим бесконечное число состояний, некоторые из них будут «в некоторой степени похожими» и вследствие этого могут быть перепутаны. Следует еще раз подчеркнуть, что подобное ограничение не оказывает серьезного влияния на производимое вычисление, поскольку использования более сложных состояний можно попросту избежать, записав больше символов на рабочую ленту.

Слово «компьютер» здесь использовалось в своем значении, относящемся к 1936 году: лицо, выполняющее вычисления. В другом месте своей работы он обратился к идее, что «человеческая память неизбежно является ограниченным ресурсом», но эту мысль он выразил в ходе своего размышления о природе человеческого разума. Его предположение, на котором основывались его доводы, о том, что состояния были исчислимы, было довольно смелым предположением. Особенно примечательно это было тем, что в квантовой механике физические состояния могли быть «в некоторой степени похожими». Далее он продолжил рассуждать о природе вычислений:

Представим, что производимые компьютером операции разложены на «простые операции», настолько элементарные, что невозможно представить дальнейшего их разложения на еще более простые операции. Каждая такая операция несет в себе некоторое изменение в физической системе, которую представляют собой компьютер и его лента. Нам известно состояние системы при условии, что мы знаем последовательность символов на рабочей ленте, которую считывает компьютер (возможно, в особом установленном порядке), а также состояние компьютера. Мы можем предположить, что в ходе простой операции не может быть изменено больше одного символа. Любые другие изменения могут быть разложены на более простые изменения подобного вида. Ситуация относительно ячеек с изменяемыми таким образом символами точно такая же, как и в случае со считанными ячейками. Таким образом, мы можем без ограничения общности предположить, что ячейки с измененными символами равнозначны считанным ячейкам.