Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Пьер Ферма родился во Франции в 1601 г. по одним источникам и в 1607–1608 гг. по другим. Не исключено, что путаница возникла из-за его брата, носившего такое же имя. Его отец был зажиточным купцом, он торговал кожей и занимал высокое положение в городе, а мать происходила из семьи юристов. Пьер учился в университете в Тулузе, а в конце 1620-х гг. перебрался в Бордо, где у него проявился талант к математике. Он говорил на нескольких языках. Кроме того, он собирал материалы и работал над восстановлением одного из классических древнегреческих трудов по математике, принадлежавшего перу Аполлония и давно утраченного. Своими многочисленными открытиями Ферма делился с ведущими математиками своего времени.

В 1631 г. Ферма получил ученую степень юриста в университете Орлеана и был назначен советником в суд Тулузы. Это назначение принесло ему дворянский титул и дало право добавлять к фамилии частицу «де»: де Ферма. Советником суда и практикующим юристом он оставался до конца жизни. Однако страстью его была математика. Он почти ничего не публиковал, предпочитая излагать свои открытия в письмах к коллегам-математикам, как правило, без доказательств. В математике Ферма так и остался любителем, но его работы пользовались заслуженным признанием профессионалов, со многими из которых он был знаком достаточно близко, хотя и по переписке. По существу, он и был профессионалом; просто не занимал в математике никакого официального поста.

Некоторые из его доказательств дошли до нас в письмах и заметках; ясно, что Ферма прекрасно представлял себе, что такое настоящее доказательство. После его смерти многие из его наиболее глубоких теорем остались недоказанными, и за них взялись профессионалы. Через несколько десятилетий лишь одному из утверждений Ферма по-прежнему недоставало доказательства; естественно, именно это утверждение получило известность как его последняя теорема. В отличие от остальных, она никак не поддавалась усилиям математиков и вскоре прославилась контрастом между простотой формулировки и очевидной сложностью поиска доказательства.

Судя по всему, Ферма пришел к своей знаменитой теореме около 1630 г. Точная дата неизвестна, но произошло это вскоре после того, как он начал читать недавно изданную «Арифметику» Диофанта. Тогда у него и появилась идея этой теоремы. Опубликована она была впервые в 1670 г., через пять лет после смерти Ферма. Его сын Самюэль выпустил необычное издание «Арифметики» Диофанта, которое включало и заметки на полях, сделанные Пьером Ферма в его личном экземпляре латинского перевода. Этот перевод был сделан Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком и издан в 1621 г. Великая теорема Ферма изложена там в виде заметки к диофантову вопросу VIII Книги II (см. рис. 29).

Речь в этом месте книги шла о задаче представления полного квадрата как суммы двух полных квадратов. Из главы 6 мы знаем, что таких пифагоровых троек существует бесконечное множество. Диофант задается тем же вопросом, но в несколько более сложной формулировке: как найти две меньшие стороны пифагорова треугольника, если известна самая большая его сторона. Иными словами, конкретный квадрат следует «разложить» на два квадрата и выразить в виде их суммы. Он показывает, как решить эту задачу, если бо́льшая сторона треугольника равна 4, и получает ответ

в рациональных числах. Умножив все на 25, получим 20² = 16² + 12², а поделив затем на 16, получим знакомое 3² + 4² = 5². Диофант обычно иллюстрировал общие методы конкретными примерами и не приводил никаких доказательств; такая традиция восходит еще к Древнему Вавилону.

Экземпляр «Арифметики» с собственноручными заметками Ферма не сохранился, но, должно быть, такая запись в нем была, поскольку Самюэль прямо об этом говорит. Вряд ли Ферма стал бы долго таить такое сокровище, да и само предположение настолько естественно, что мысль о нем, вероятно, пришла Пьеру в голову сразу же по прочтении восьмого вопроса второй книги «Арифметики». Очевидно, ему стало интересно, можно ли проделать что-нибудь подобное с кубами вместо квадратов — согласитесь, естественный для математика вопрос. Он не нашел подобных примеров — мы можем быть в этом уверены, поскольку точно знаем, что их не существует; неудача ждала его и в случае с более высокими степенями, к примеру с четвертой. Он решил, что эти задачи не имеют решений. Заметка на полях говорит именно об этом. В переводе это звучит примерно так:

Говоря алгебраическим языком, Ферма, согласно его собственному заявлению, доказал, что диофантово уравнение

не имеет целочисленных решений, если n — любое целое число, большее или равное 3. Ясно, что при этом он не рассматривал тривиальных решений, при которых x или y равны нулю. Чтобы не повторять это уравнение постоянно, я буду называть его в дальнейшем уравнением Ферма.

Если у Ферма действительно было доказательство, то найти его так никому и не удалось. В конце концов теорема была доказана в 1995 г., больше чем через три с половиной столетия после появления, но методы доказательства выходят далеко за рамки методик, доступных во времена Ферма или даже таких, которые он мог бы сам изобрести. Надо сказать, что поиски доказательства этой теоремы оказали громадное влияние на развитие математики. По существу, именно они привели к созданию алгебраической теории чисел, которая расцвела в XIX в. благодаря очередной неудачной попытке доказать теорему и блестящей идее, которая едва не спасла доказательство. В конце XX — начале XXI в. она дала толчок настоящей революции.

Вначале математики, работавшие над Великой теоремой Ферма, пытались перебирать степени одну за другой. Общего доказательства теоремы, о котором говорил ее автор в заметке на полях, могло и не быть, но нам известно, как Ферма доказал свою теорему для четвертых степеней. Главный инструмент здесь — евклидова методика поиска пифагоровых троек. Четвертая степень числа — это квадрат квадрата этого числа. Так что любое решение уравнения Ферма для четвертых степеней — это пифагоров треугольник, в котором все три числа также являются полными квадратами. Это дополнительное условие можно ввести в методику Евклида и после некоторых хитрых маневров получить еще одно решение уравнения Ферма для четвертых степеней. Может показаться, что в этом нет никакого особого прогресса; после страницы алгебраических вычислений задача сводится к первоначальной. Однако на самом деле это нам поможет: числа во втором решении меньше, чем в первом (гипотетическом). Главное, если первое решение нетривиально (т. е. если x и y в нем не равны нулю), то же можно сказать и о втором решении. Ферма указывал, что повторение этой процедуры даст нам последовательность решений, в которой числа становятся все меньше и меньше. Однако любая убывающая последовательность целых чисел должна когда-нибудь остановиться. Это логическое противоречие, так что гипотетического решения, с которого все началось, не существует. Ферма назвал этот метод доказательства методом «бесконечного спуска». Мы сегодня назвали бы его доказательством по методу математической индукции, упомянутому в главе 4. Его, кстати, тоже можно переформулировать в терминах минимальных контрпримеров, или в данном случае минимальных положительных примеров. Предположим, существует положительный пример — нетривиальное решение нашего уравнения. Тогда существует и минимальный положительный пример. Но, согласно рассуждениям Ферма, это означает, что существует еще меньший пример, а это уже противоречие. Следовательно, положительных примеров не существует. Со времен Ферма появились и другие доказательства теоремы для четвертых степеней, и на сегодняшний день их известно около 30.