Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

В то время как имеется лишь 25 сдвигов Цезаря, число возможных шифров становится заметно больше, когда мы позволяем заменять любую букву любой другой. У нас есть 26 возможностей для того, что будет использовано вместо a, для каждой из этих возможностей имеется выбор из 25 букв для буквы b (одна буква уже была использована для кодирования a). Итак, имеется 26 × 25 различных способов зашифровать буквы a и b. Если мы продолжим выбирать другие буквы для оставшегося алфавита, то найдем, что имеется

различных шифров Камасутры. Как мы видели на с. 40, это число обозначается 26!. Только нужно не забыть вычесть 1 из этого числа, потому что имеется вариант, когда А соответствует а, B соответствует b и так далее вплоть до Z, соответствующего z, что не является шифром. Когда мы вычислим 26! и вычтем 1, то придем к общему числу

различных шифров – более четырехсот миллионов миллиардов миллиардов возможностей.

Отрывок в начале данного раздела был закодирован с помощью одного из этих шифров. Чтобы дать вам представление о числе возможных перестановок, замечу, что напиши я закодированный отрывок с использованием всех различных шифров, то лист бумаги вышел бы за пределы Млечного Пути, нашей Галактики. Компьютер, проверяющий по одному шифру в секунду с момента Большого взрыва, который произошел 13 миллиардов лет назад, к настоящему времени выполнил бы лишь часть работы по проверке всех шифров – и при этом очень малую часть.

Поэтому кажется, что взломать этот шифр невозможно. Разве удастся выяснить, каким из этого огромного количества возможных шифров воспользовался я, чтобы закодировать мое послание? Как это ни поразительно, существует способ сделать это, причем он применяет очень простой раздел математики – подсчет.

Таблица 4.01. Частота употребления букв в обычном английском языке, округленная к ближайшему целому процентному значению. С помощью этой информации можно приступить к взламыванию сообщений, в которых использовался шифр подстановки

Впервые криптоанализ, как называется наука о взламывании кода, был разработан арабами во время правления династии Аббасидов. Многогранный ученый IX в. Якуб аль-Кинди отметил, что в написанном тексте некоторые буквы появляются снова и снова, в то время как другие используются редко, как показано выше. Это то, что хорошо знакомо игрокам в скрэббл[13]: за букву E, как за самую распространенную, дается лишь 1 очко, в то время как Z оценивается в 10 очков. В письменных текстах у каждой буквы есть выраженная «индивидуальность» – то, как часто она появляется и в каких комбинациях с другими буквами. Ключевым в анализе аль-Кинди является понимание того, что индивидуальность буквы сохраняется при ее замене другим символом.

Итак, давайте начнем взламывать шифр, который использовался при кодировании текста в начале данного раздела. В таблице 4.02 приведена частота употребления каждой из букв, использованных в зашифрованном тексте.

Таблица 4.02. Частотное распределение букв в зашифрованном тексте

Из таблицы мы видим, что буква S встречается с частотой 13 %, это превосходит любую другую букву в шифротексте. Поэтому есть немалый шанс, что данная буква использовалась для кодирования e. (Разумеется, вам приходится надеяться, что я не выбрал для кодирования отрывок из романа Жоржа Перека «Исчезание», на всем протяжении которого не встречается буква e.) Следующей по употребительности буквой шифротекста, с частотой 12 %, является D. На втором месте по употребительности в английском языке находится буква t, поэтому она будет хорошим предположением для соответствия D. Третьей по частоте в шифротексте является буква B, которая используется в 10 % случаев, есть немалая вероятность, что она заменяет третью по употребительности букву английского языка а.

Давайте подставим эти буквы в текст и посмотрим, что у нас получилось:

Вы можете сказать, что текст по-прежнему выглядит как тарабарщина, но то обстоятельство, что буква а встречается сама по себе несколько раз, говорит нам, что, вероятно, мы декодировали ее правильно. (Конечно, могло оказаться так, что B заменяет i, в таком случае нам пришлось бы вернуться назад и попытаться еще раз.) Также мы замечаем, что довольно часто сталкиваемся со словом tFe, и можно быть уверенным, что это слово the. На самом деле буква F занимает 6 % шифротекста, а в английском языке буква h встречается в 6 % случаев.

Также мы видим слово Lt, в котором была декодирована лишь вторая буква. Есть лишь два слова из двух букв, заканчивающиеся на t: at и it. Мы уже декодировали а, значит, наверняка L нужно декодировать как i, и наша таблица частотного распределения подтверждает это. L появляется в шифротексте с частотой 8 %, и i встречается в английском языке с частотой 7 % – довольно близкое совпадение. Подобный анализ не является точной наукой, мы должны проявлять достаточную гибкость при использовании этой техники. Но чем длиннее текст, тем лучше будут подстраиваться частоты.

Давайте подставим две наши новые декодировки:

Постепенно начинает вырисовываться сообщение в целом. Я предоставляю вам возможность довести дешифровку до конца, декодированный текст приведен в конце главы на случай, если вам захочется проверить, сделано ли все правильно. Дам лишь следующую подсказку: это пара моих любимых отрывков из «Апологии математика», написанной кембриджским ученым Г. Х. Харди. Я прочитал эту книгу, когда учился в школе, она повлияла, наряду с другими обстоятельствами, на мое решение стать математиком.