Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Первыми свои мысли о бесконечности записали греческие и индийские философы древности еще две тысячи лет назад. Анаксимандр в VI веке до нашей эры считал источником происхождения всего сущего “апейрон” (“беспредельность”). Спустя столетие его соотечественник Зенон из Элеи (местности, сегодня известной как Лукания в Южной Италии) впервые взглянул на бесконечность с математической точки зрения.

Зенон первым почувствовал опасности, что таит в себе бесконечность. Беспокойство вызывали описанные им парадоксы, в самом известном из которых Ахиллес состязается в беге с черепахой. Уверенный в своей победе, наш мифический герой дает черепахе фору. Но как же, спрашивает Зенон, может Ахиллес обогнать неторопливую рептилию? Ведь пока он добежит до того места, откуда черепаха начала свой путь, она уползет вперед. К тому времени, как Ахиллес преодолеет новое разделяющее их расстояние, черепаха продвинется еще дальше. И так далее, до бесконечности. Сколько бы Ахиллес ни добегал до того места, где только что была черепаха, ей каждый раз удастся уйти немного дальше. Очевидно, есть некое расхождение между тем, как мы порой представляем себе бесконечность и как все происходит в реальности. Сам же Зенон был настолько смущен и озадачен этим и другими парадоксами, что не только решил не задумываться больше о бесконечности, но и пришел к выводу, что движение невозможно!

Похожее потрясение испытали Пифагор и его последователи, убежденные, что все во вселенной в конечном счете можно описать целыми числами. Ведь даже обыкновенные дроби – это всего лишь одно целое число, деленное на другое. Но квадратный корень из 2 – длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами по единице – никак не вписывался в эту стройную космическую схему. Это было “иррациональное” число, невыразимое в виде отношения двух целых чисел. Если попытаться представить его в виде десятичной дроби, количество знаков после запятой разрастается до бесконечности, а какой-либо четко повторяющейся группы цифр не возникает. Пифагорейцы всех этих тонкостей не знали, их беспокоило только то, что в их совершенный мир затесалось мерзкое чудище в виде квадратного корня из 2, а потому они тщательно скрывали его существование.

Эти два примера иллюстрируют основную проблему, связанную с постижением бесконечности. Наше воображение без труда справляется с тем, что еще не достигло своего конца: мы всегда можем представить себе, как любое расстояние увеличивается еще на шаг, к любому количеству предметов добавляется еще один. Но бесконечность в обобщенном значении, как понятие, в голове не укладывается. Математики издавна бились с ней, поскольку привыкли в своей области иметь дело с точными величинами и тщательнейшим образом определенными понятиями. А как можно работать с объектами, которые точно существуют, но никогда не заканчиваются, – с числом вроде √2 (начинающимся с 1,41421356237… и продолжающимся все дальше и дальше без видимого порядка и предсказуемых повторов) или кривой, что прижимается к прямой все теснее и теснее, – и при этом избежать встречи с бесконечностью? Аристотель предлагал возможное решение, утверждая, что бесконечность бывает двух видов. “Актуальная” (или “завершенная”) бесконечность, которой, по мнению Аристотеля, в реальности не существует, – это безграничность полностью реализованная, фактически достигнутая (математически или физически) в какой-то момент времени. “Потенциальная” бесконечность, которую Аристотель считал очевидно проявляющейся в природе – например, в нескончаемом чередовании времен года или безграничной делимости слитка золота (про атомы он не знал), – это беспредельность, протекающая в не имеющем границ времени. Это принципиальное разграничение между актуальной и потенциальной бесконечностью просуществовало в математике более двух тысяч лет.

В 1831 году сам Карл Гаусс высказался по поводу “ужаса актуальной бесконечности” так:

Взгляд в бесконечность.

Ограничившись изучением потенциальной бесконечности, математики смогли разрабатывать такие важнейшие понятия, как бесконечные ряды, пределы и бесконечно малые величины, придя таким образом к математическому анализу, но не признавая при этом бесконечность в качестве самостоятельного математического объекта. И все же еще в Средние века они сталкивались с парадоксами и неразрешимыми задачами, а это значило, что от актуальной бесконечности нельзя просто отмахнуться. Эти неразрешимые задачи проистекали из принципа, согласно которому всем элементам одного набора объектов возможно найти пару в другом наборе объектов того же размера. Но вот когда этот принцип пытались применить к неограниченно большим наборам, он открыто противоречил продиктованной здравым смыслом идее, впервые высказанной Евклидом: что целое всегда больше, чем любая его часть. К примеру, казалось вполне возможным образовать пары из всех положительных целых чисел и только тех из них, которые являются четными: единице противопоставить двойку, двум – четыре, трем – шесть и так далее, несмотря на то что положительные целые числа включают в себя и четные тоже. Изучавший эту проблему Галилей первым предложил более просвещенный подход к бесконечности, заявив: “Бесконечность должна подчиняться иной арифметике, нежели конечные числа”.

Понятие потенциальной бесконечности усыпляет нашу бдительность, заставляя думать, что к бесконечности можно подобраться поближе – нужно лишь зайти подальше или идти подольше. А отсюда уже недалеко и до распространенного мифа о том, что бесконечность – это лишь что-то вроде очень большого числа и триллион или, скажем, триллион триллионов триллионов уже как-то ближе к бесконечности, чем, допустим, десять или тысяча. На самом деле все не так. Сколько ни двигайся по числовой оси, до какого числа ни считай, к бесконечности не приблизишься ни на йоту. Число 1 так же далеко от бесконечности (или так же близко к ней), как любое другое конечное число, какое бы громадное нам ни хватило фантазии назвать. Более того, в любом числе, сколь бы мало оно ни было, уже заключена бесконечность, так что двигаться вперед ко все бо́льшим и бо́льшим числам в поисках ее – мероприятие совершенно бесполезное. Суть в том, что бесконечность существует даже, например, в интервале между 0 и 1, поскольку тот содержит бесконечное количество дробей: ½, ⅓, ¼ и так далее. Бесконечность не имеет ничего общего с огромными конечными числами. Чтобы работать с ней, нам придется вырваться из их плена, перестать пользоваться ими как подпорками для нашего разумения.