Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

И наконец (по крайней мере, на сегодня), существует понятие “абсолютной бесконечности”, иногда обозначаемой прописной буквой омега (Ω), – бесконечности, которая превосходит все остальные. О ней говорил и сам Кантор, но больше в религиозном контексте. Он был убежденным лютеранином, чьи христианские принципы подчас находили отражение в научных трудах. Для него Омега (если она существовала) могла воплощаться только в божественном разуме, в который он верил. При таком подходе Омега – чистая метафизическая абстракция. С математической точки зрения абсолютная бесконечность не может иметь строгого определения, а потому математики (если только их не потянуло на философию) обычно ее игнорируют. Есть соблазн охарактеризовать ее как количество элементов в универсуме всех множеств – так называемом универсуме фон Неймана. Но этот универсум на самом деле не множество (скорее класс множеств), поэтому с его помощью невозможно дать определение конкретному виду бесконечности, будь то кардинальное число или ординал. Споры вызывают также попытки рассматривать Омегу как наиболее осмысленный результат деления единицы на ноль. Математика эту процедуру не признает, хотя в некоторых видах геометрии, например в проективной геометрии, такое возможно – отсюда возникают понятия “бесконечно удаленной точки” и “бесконечно удаленной прямой”. Поиск Омеги продолжат будущие поколения математиков, логиков и философов. Ну а нам пока тоже есть чем заняться: бесконечностей у нас более чем достаточно, одна бесконечно больше другой.

И напоследок еще одна мысль: а имеют ли математические бесконечности какое-либо воплощение в реальном мире, или же это чистые абстракции? Как мы уже узнали, космологи склонны считать Вселенную, в которой мы живем, геометрически плоской и бескрайней в пространстве и времени. Если она действительно бесконечна, то какой математической бесконечности она соответствует? То, что пространство и время делятся на дискретные кусочки – планковскую длину и планковское время, – означает, что они не непрерывны, не слитны, как точки на математической прямой. Значит, если реальная вселенная бесконечно велика, похоже, с ней можно соотнести только наименьшую из бесконечностей, алеф-ноль. А все, что больше, возможно, всегда будет существовать только у нас в голове или в каком-нибудь платоновом пространстве, которому нипочем законы физики.

Попросите ребенка назвать самое-самое большое число – и, скорее всего, услышите в ответ что-то вроде “пятьдесят тысяч миллионов миллиардов триллионов триллионов…” и так далее, пока объект расспросов не устанет нанизывать одно на другое реальные числа вперемешку с “сиксиллионами” и “мультиллиардами”. По житейским меркам это и вправду очень большие числа, может быть, даже превышающие количество всех живых существ на Земле или звезд во Вселенной. Но по сравнению с умопомрачительно гигантскими числами, которые способны конструировать математики, – просто детские шалости. Если бы вам вдруг взбрело в голову провести остаток своей сознательной жизни, произнося “триллион триллионов триллионов триллионов…” и так далее со скоростью один “триллион” в секунду, то получившееся в итоге число было бы просто мизерным по сравнению с монстрами числового космоса, с которыми мы познакомимся в этой главе: такими как число Грэма, TREE(3) и поистине исполинское число Райо.

Известно, что одним из первых систематически начал задумываться об очень больших числах Архимед. Он родился в Сиракузах на острове Сицилия около 287 года до нашей эры и считается величайшим математиком древности и одним из самых великих в истории человечества. Он задался вопросом: сколько всего на свете песчинок и сколько вообще их можно вместить в целый мир, который, как считали древние греки, простирается до сферы “неподвижных звезд” (так, в отличие от планет, они называли звезды, видимые на ночном небе). Его трактат “Исчисление песчинок” начинается так:

Архимед, считавший, что “математика… открывает свои тайны только тому, кто приближается к ней с чистой любовью, ради ее собственной красоты”[44].

Чтобы подготовить почву для своих расчетов космического масштаба, Архимед взялся для начала расширить существовавшую в то время систему наименования больших чисел – а это основная проблема, с которой сталкивались с тех пор все математики, пытавшиеся описывать все бо́льшие и бо́льшие целые числа. Греки называли число 10 000 “мюриас”, что подразумевает неисчислимость. У римлян же оно называлось “мириадой”[45]. В качестве точки отсчета на пути в мир огромных чисел Архимед использовал “мириаду мириад”, то есть 100 000 000, или, если использовать современное экспоненциальное представление, 108. Число это намного превышало любое, для какого у греков нашлось бы практическое применение. Все числа, идущие до мириады мириад, Архимед назвал “первыми”. Те, что шли вплоть до мириады мириад, помноженной на мириаду мириад (то есть до единицы с 16 нулями, или 1016), он отнес ко “вторым”; потом перешел к “третьим”, “четвертым” и так далее, причем каждый последующий разряд в его схеме был в мириаду мириад раз больше предыдущего. В конце концов он достиг “мириад-мириадного” разряда, то есть числа 108, умноженного само на себя 108 раз (или 108 в степени 108). Таким порядком Архимеду удалось описать числа длиной вплоть до 800 000 000 знаков. Их он отнес к “числам первого периода”. Само число 10800 000 000 он принял за начало второго периода, после чего повторил весь процесс снова. Для второго периода Архимед применил ту же методику, что и для первого, увеличивая каждый последующий разряд в мириаду мириад раз до тех пор, пока в конце мириад-мириадного периода не достиг колоссального числа 1080 000 000 000 000 000, или мириады мириад, возведенной в степень, равную мириаде мириад, умноженной на мириаду мириад.

Как выяснилось позже, для того чтобы реализовать свой проект по подсчету песчинок, Архимед мог ограничиться и первым периодом. Согласно тогдашним представлениям о космосе, весь мир вплоть до неподвижных звезд имел объем шара с диаметром в два световых года, в центре которого находилось Солнце. Оценив размер песчинки, Архимед пришел к следующему выводу: чтобы превратить космос в гигантский песчаный пляж, потребуется 8 × 1063 песчинок, то есть всего-навсего число восьмого разряда первого периода. Даже если взять рассчитанный современными учеными диаметр наблюдаемой Вселенной – 92 миллиарда световых лет, – ее объем не сможет вместить больше 1095 песчинок, а это все равно число лишь двенадцатого разряда первого периода.