Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

Рис. 16.8. Афганские ленты

Лента Мёбиуса названа в честь Мёбиуса, но почти в то же время ее открыл Листинг (именно Листинг первым обратил внимание на математику, лежащую в основе будущего фокуса с афганскими лентами). Листинг опубликовал свое описание ленты Мёбиуса в 1861 году145, через четыре года после Мёбиуса146. Из переписки и замечаний следует, что первое упоминание принадлежит Листингу (июль 1858 года), который опередил Мёбиуса (сентябрь) на несколько месяцев.

Причина, по которой лента Мёбиуса не носит имя Листинга, заключается в том, что Мёбиус первым понял математический смысл свойства односторонности. Сегодня мы называем такие поверхности неориентируемыми. Есть несколько способов описать это явление математически. Мёбиус показал, что ленту Мёбиуса невозможно разбить на треугольники, а затем на каждом из них выбрать ориентацию, согласованную с соседями (см. рис. 16.9).

Впоследствии Клейн определил ориентируемость по-другому. Поместим на поверхность небольшую окружность и выберем на ней ориентацию. Эта окружность не нарисована на одной стороне поверхности, а является частью поверхности, поэтому видна на обеих сторонах (на одной она будет ориентирована по часовой стрелке, а на другой — против часовой стрелки). Представим, что поверхность сделана из папиросной бумаги, а окружность нарисована фломастером, так что просвечивает с другой стороны. Клейн называл такую окружность индикатрисой. если индикатрису можно переместить вдоль поверхности, так что она вернется в исходную точку с противоположной ориентацией, то поверхность неориентируемая. На рис. 16.10 показано, что лента Мёбиуса неориентируема, поскольку при перемещении вдоль средней линии индикатриса меняет ориентацию.

Рис. 16.9. Триангуляцию ленты Мёбиуса невозможно ориентировать

Рис. 16.10. Лента Мёбиуса неориентируема

Вальтер фон Дик (1856–1934), ученик Клейна, дал еще одно определение. Он поместил на поверхность подвижную систему координат (x, y). Если можно переместить эту систему координат по поверхности, так что оси поменяются местами, то поверхность неориентируемая (одно из преимуществ подхода Дика в том, что он легко обобщается на многомерные топологические объекты).

Интересно отметить, что математики не используют свойство односторонности для определения неориентируемости. Хотя может показаться, что односторонность и неориентируемость эквивалентны, Клейн и фон Дик доказали, что в многомерных пространствах односторонность теряет всякий смысл, а неориентируемость — нет. Понятие стороны имеет смысл только для поверхностей в трехмерном пространстве. Говорить о внутренности или внешности поверхности — даже сферы — в 4-мерном пространстве бессмысленно.

Это и другие утверждения о многомерных пространствах, которые еще будут сделаны ниже, трудно воспринять. Требуются мысленные усилия, к которым мозг человека не приучен природой. Как писал математик Томас Банхофф, «все мы рабы предрассудков своей размерности»147.

Чтобы проиллюстрировать трудное для понимания заявление о том, что в 4-мерном пространстве поверхности не имеют сторон, мы понизим размерность и перейдем от поверхностей к кривым. На рис. 16.11 слева видно, что в любой точке кривой на плоскости векторы нормали могут указывать в двух направлениях (вектор называется нормальным к кривой, если он перпендикулярен касательной к ней). Таким образом, у плоской кривой есть стороны, а поскольку невозможно переместить вектор нормали вокруг кривой, так чтобы он вернулся в исходную точку, сменив направление, сторон две. Если речь идет о простой замкнутой кривой, т. е. замкнутой петле, не пересекающей саму себя, то эти направления называются внутрь и вовне (на самом деле кажущееся таким очевидным утверждение, что у всякой простой замкнутой кривой есть внутренность и внешность, — это глубокий факт, известный под названием теоремы Жордана).

Рис. 16.11. Кривая на плоскости двусторонняя, но у кривой в трехмерном пространстве нет сторон

С другой стороны, для кривой в трехмерном пространстве нормальных направлений в каждой точке бесконечно много (как показывает круг нормальных векторов на рис. 16.11 справа). Поэтому понятие стороны в данном случае бессмысленно.

Аналогично в любой точке поверхности в трехмерном пространстве нормальных направлений два (нормальный вектор перпендикулярен плоскости, касательной к поверхности). Для неориентируемых поверхностей можно переместить нормальный вектор вокруг поверхности, так что он вернется в исходную точку, сменив направление на противоположное, поэтому поверхность односторонняя (см. рис. 16.12). Для ориентируемых поверхностей это невозможно, поэтому они двусторонние. Но для поверхности в 4-мерном пространстве нормальных направлений в любой точке бесконечно много, поэтому, как и для кривой в трехмерном пространстве, говорить о сторонах не имеет смысла.

Рис. 16.12. В трехмерном пространстве лента Мёбиуса односторонняя, а тор двусторонний

Лента Мёбиуса — не единственная неориентируемая поверхность. В 1882 году Клейн открыл еще одну, вообще не имеющую края, теперь она называется бутылкой Клейна148. На рис. 16.13 показано, как получить ее путем склеивания сторон квадрата. Нужно склеить противоположные стороны вместе; левая и правая склеиваются с перекручиванием, а верхняя и нижняя без перекручивания. Для построения бутылки Клейна склеим две одинаково ориентированные стороны, получится цилиндр. Если теперь свернуть цилиндр наподобие тора, то разные концы будут иметь противоположные направления. Но вместо того чтобы сразу склеивать их, мы должны «протащить» цилиндр через собственную стенку и вытащить наружу, так чтобы окружности оказались одинаково ориентированными.

Рис. 16.13. Бутылка Клейна

Что значит «протащить»? Мы не имеем в виду буквальное действие. Бутылка Клейна — наш первый пример поверхности, которую нельзя построить в трехмерном пространстве. Говоря, что бутылка проходит сквозь себя, мы имеем в виду обход в четвертом измерении. Чтобы проиллюстрировать эту малопонятную идею, снова понизим размерность. Пусть требуется провести на плоскости две непараллельные, но не пересекающиеся прямые. Очевидно, что это невозможно, но если бы было разрешено выйти за пределы двумерного листа бумаги и воспользоваться третьим измерением, то мы могли бы перед точкой пересечения перепрыгнуть через прямую (рис. 16.14). Таким образом, две прямые по существу плоские, но требуется чуть-чуть задействовать третье измерение. С помощью точно такого же приема мы можем построить и бутылку Клейна. Когда понадобится протащить горлышко сквозь стенку, мы совершим небольшой прыжок в четвертом измерении.

Рис. 16.14. Совершив обход с выходом в третье измерение, мы можем избежать пересечения прямых

Но вернемся к квадрату и создадим последнюю поверхность в этой главе. Представить ее наглядно труднее всего. Нужно склеить обе пары противоположных сторон, предварительно перекрутив каждую (рис. 16.15). Для начала деформируем квадратный лист резины, так чтобы он принял форму чаши. Будем внимательно следить за тем, какие участки границы с какими склеивать. Продолжим деформацию, так чтобы подлежащие склеиванию стороны оказались напротив друг друга и имели одинаковую ориентацию. Склеим одну пару сторон (на