Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

фигуры. Например, окружность на рис. 17.1 одинакова с клубком справа от нее. С другой стороны, прокалывание фигуры, разрезание ее или приклеивание к себе самой, скорее всего, даст топологически отличную фигуру. Окружность — не то же самое, что две склеенные окружности, образующие восьмерку.

В первой половине XIX века математики приложили много усилий для классификации многогранников, удовлетворяющих формуле Эйлера, — так называемых эйлеровых многогранников. Мы пришли к расплывчатому пониманию того, что все многогранники, «похожие на сферу», являются эйлеровыми, а странные исключения Люилье и Гесселя таковыми не являются. Оказывается, что формула Эйлера применима к любому многограннику, топологически эквивалентному сфере. Куб, любое платоново или архимедово тело и даже некоторые невыпуклые многогранники можно деформировать в сферическую поверхность (рис. 17.2). Неэйлеровы многогранники, например, образованные соединением двух многогранников вдоль ребра или имеющие форму тора, топологически не эквивалентны сфере.

Рис. 17.1 Этот клубок топологически эквивалентен окружности, а восьмерка неэквивалентна

Рис. 17.2. Многогранники, топологически эквивалентные и неэквивалентные сфере

Может показаться, что изучение этих фигур интуитивно очевидно, но поразительно, насколько часто мы сталкиваемся с результатами, противоречащими интуиции. Например, на рис. 17.3 мы начали с двойного тора, подвешенного на веревке, проходящей через одну из его дырок. Путем топологических манипуляций (без разрезания или склеивания!) мы приходим к результату, который поначалу кажется невозможным, — двойному тору, продетому за обе дырки.

В главе 16 мы видели разницу между внешней и внутренней размерностями. Подобную терминологию можно было использовать и в этом контексте. Примеры, приведенные выше в этой главе, обладают тем, что можно было бы назвать внешней топологией, поскольку одну фигуру можно деформировать в другую в трехмерном пространстве. Математики называют две фигуры с одинаковой внешней топологией изотопическими. Изотопия — вроде бы подходящий выбор для определения топологической «одинаковости», но в действительности топологи хотят больше свободы. Нам нужно менее ограничительное определение эквивалентности.

Рис. 17.3. Фокус с двойным тором на бельевой веревке

Чтобы две фигуры были топологически эквивалентными, они должны иметь одинаковую внутреннюю топологию. Если две поверхности эквивалентны, то каким бы умным ни был обитающий на поверхности муравей, он не сможет отличить одну от другой, не покидая поверхности. Можно найти две эквивалентные поверхности такие, что одну невозможно деформировать в другую. Таким образом, аналогия на основе резинового листа несовершенна.

Чтобы понять это новое определение, придется вернуться к разрезанию и склеиванию. Хотя обычно разрезание и склеивание действительно изменяют топологию поверхности, это верно не всегда. Есть важное исключение: разрезать фигуру, а затем склеить отдельные куски, так чтобы разрезы точно совпали. В этом случае топология не изменится. Если разрезать тор поперек, так чтобы получился цилиндр, затем завязать цилиндр в узел и снова склеить (как на рис. 17.4), то получившаяся фигура топологически по-прежнему эквивалентна тору. Заметим, что завязанный в узел тор нельзя получить из исходного путем деформаций в трехмерном пространстве — эти фигуры не изотопические. Внутренняя топология одинакова, но внешняя различается. С другой стороны, никаким способом невозможно разрезать, деформировать и снова склеить тор, так чтобы получился двойной тор. Достаточно умный муравей сможет доказать, что они топологически различны (и очень скоро мы увидим, как именно).

Точное определение топологической «одинаковости» выходит за рамки этой книги. По существу, два топологических объекта одинаковы, если существует взаимно однозначное соответствие между их точками, сохраняющее близость, — близким точкам одного объекта соответствуют близкие точки другого. Это понятие «одинаковости» было введено Мёбиусом, который называл соответствие «элементарной связью»150. В настоящее время такое соответствие называют гомеоморфизмом. Таким образом, на языке топологов два объекта одинаковы, если они гомеоморфны.

Рис. 17.4. Фигуры, топологически эквивалентные и неэквивалентные тору

Рассмотрим три петли из фокуса с афганскими лентами в главе 16. Одна не перекручена вовсе, вторая перекручена один раз, а третья — два раза. Очевидно, что внешняя топология всех трех различна. Но, согласно нашему эвристическому правилу, третья фигура гомеоморфна неперекрученной цилиндрической ленте, поскольку если разрезать цилиндр и дважды перекрутить его, то края разрезов можно будет правильно совместить перед склеиванием (рис. 17.5). Будем называть третью фигуру скрученным цилиндром. Для ленты Мёбиуса это не так. Если разрезать цилиндр и перекрутить его один раз, то края разреза нельзя будет совместить правильно. Поэтому, несмотря на поверхностное сходство между лентой Мёбиуса и скрученным цилиндром, они негомеоморфны.

Рис. 17.5. Дважды перекрученная полоса гомеоморфна цилиндру, а перекрученная один раз — нет

Хотя интуиция подсказывает, что лента Мёбиуса негомеоморфна цилиндру (скрученному или нет), доказательства мы не дали. Да, это кажется маловероятным, но, быть может, существует хитрый способ разрезания, который перевел бы одну фигуру в другую. Фокус с двойным тором на веревке уже научил нас, что не всегда можно доверять внутреннему чутью, но в данном случае интуиция не подвела — фигуры негомеоморфны.

Топологическим инвариантом называется ассоциированное с поверхностью свойство или математическая сущность, которая зависит только от топологии поверхности. Топологический инвариант может быть числом, например числом краев. если две поверхности гомеоморфны, то число краев у них должно быть одинаково. На практике это утверждение полезнее в контрапозитивной форме: если у двух поверхностей разное число краев, то они не могут быть гомеоморфными. Поскольку край цилиндра состоит из двух компонент, а край ленты Мёбиуса — из одной, то они негомеоморфны.

Еще одним топологическим инвариантом является внутренняя размерность: она позволяет отличить сферу (двумерную поверхность) от окружности (одномерной). Мы продолжим обсуждение размерности в главе 22.

Топологическим инвариантом, а точнее топологическим свойством, является также ориентируемость. Две топологически одинаковые поверхности либо обе ориентируемые, либо обе неориентируемые. По-другому то же самое можно выразить, сказав, что если одна поверхность ориентируемая, а другая нет, то они не могут быть гомеоморфными. Нетрудно видеть, что цилиндр и скрученный цилиндр ориентируемы, а лента Мёбиуса — нет.

Согласно нашим правилам разрезания и склеивания, полоска бумаги, перекрученная четное число раз и затем склеенная, топологически эквивалентна цилиндру, а перекрученная нечетное число раз — ленте Мёбиуса. Полоски с четным числом перекрутов ориентируемы, и их край состоит из двух компонент, а полоски с нечетным числом перекрутов неориентируемы, а их край состоит из одной компоненты, так что они гомеоморфны друг другу. Заметим, кстати, что у каждой перекрученной полоски есть зеркальный близнец. Перекручивать полоску перед склеиванием можно по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Ориентируемость, размерность и количество компонент края — три важных топологических инварианта. Еще одним топологическим инвариантом, пожалуй, самым важным из всех, является величина V — E + F. Пусть дана поверхность S,