Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность - Бен Орлин

Вероятность заболеть у каждого из нас равна примерно 1 к 1000. Но если мы скинемся по $800, то все будет супер. Тысяча клиентов принесет страховой компании доход $800 000, а страховая выплата составит всего-навсего $500 000. Эти парни получают прибыль, а мы защищены от финансового краха. Все счастливы и расходятся по домам.

Но что, если у нас больше информации? Что, если мы можем подсмотреть, как выпали первые пять монет, прежде чем решить, покупать ли страховку?

В таком случае примерно 970 человек из 1000 видят, что хотя бы одна монета выпала решкой, и вздыхают с облегчением. Мы в безопасности; в страховке нет необходимости. Но оставшиеся 30 человек психуют еще больше. Возможно, один из них подцепил эту жуткую мутагенную болезнь. Они могут рассчитывать на коллективную компенсацию размером $500 000, но, даже если они распределят расходы поровну, их подцепят на нешуточный крючок: каждому придется заплатить тысячи и тысячи долларов. Такая страховка больше не обеспечивает душевного спокойствия; наоборот, она подрывает его.

Когда мы подсмотрели, как выпали монеты, неопределенность уменьшилась, а без неопределенности страховка теряет смысл. Если мы заранее знаем, кто пострадает, — чья лодка пойдет ко дну, чьи работники выиграют в лотерею, кто получит травму, после которой можно расстаться с мечтой попасть в NFL, — то застраховаться больше невозможно. Страховой фонд пополняют только те, кто подвергается риску.

Эта проблема развивается в нашей медицинской системе из года в год. Генетические тесты и уточненная статистика угрожают базовой логике страхования.

Я не вижу ни одного простого решения. Когда страховые тарифы индивидуализируют, одни заплатят несколько пенсов, а взносы для других будут не меньше, чем сами счета за лечение. Но если распределить взносы поровну, то взаимовыгодный проект превращается в коллективную благотворительность: одни клиенты субсидируют других. Такую страховку труднее продать. Это одна из причин, по которым американское здравоохранение остается столь противоречивым.

Будучи учителем, я склонен думать, что любое знание — это дар. Но страховка усложняет эту точку зрения. Наше незнание судьбы может вынудить нас объединиться против нее. Мы построили демократию из нашей неопределенности — и новые знания угрожают этому балансу столь же непоправимо, как наводнение или пожар.

В сентябре 2008 года начался последний год моей великой охоты на бесплатную пиццу в угодьях под названием «университет». Я знал, хотя не вполне верил, что по окончании университета пиццей могут разжиться только наемные работники, и решил посетить ежегодную ярмарку вакансий. Работодатели сооружали свои стенды в университетском спортзале и раздавали сувениры и (во вторую очередь) анкеты для приема на работу.

Но, переступив порог спортзала, я увидел, что он почти пуст: настоящий город-призрак. Инвестиционные банкиры спелись и решили, что сейчас, вероятно, не лучшее время для найма.

Мы знали почему. За месяц до того мировая финансовая система заморозилась, включила «синий экран смерти» и отказывалась перезагружаться. На подмостках Уолл-стрит прогремела финальная сцена шекспировских трагедий: вековые экономические институты, продырявленные мечами, валялись в грязи и хрипели предсмертные монологи. Журналисты сыпали выражениями наподобие «худшая из худших», «рецессия» и «со времен Великой депрессии», зачастую собирая их в цепочку. Даже корочки пиццы имели тревожный вкус.

В этой главе мы добрались до последнего и, возможно, труднейшего урока по теории вероятностей. Многие из тех, кто претендует на звание эксперта в этой области, влюблены в идею независимых событий, предпочитая воображать наш мир как совокупность отдельных фактов. Но если теория вероятностей хочет противостоять неопределенности нашего мира, она вынуждена столкнуться с взаимозависимостью: сюжетными линиями и причинно-следственными связями.

Вот простая иллюстрация: в чем разница между броском двух игральных костей и удвоением числа, выпавшего при броске одной игральной кости?

Ну, в том и другом случае итоговый результат лежит в диапазоне от 2 («глаза змеи») до 12 (пара шестерок).

В случае двух независимых друг от друга кубиков мало вариантов, дающих крайние результаты. (Например, есть только две комбинации, в сумме дающие три.) Серединные результаты можно получить несколькими способами — например, есть шесть комбинаций, дающих в сумме семерку. Таким образом, чем больше вариантов, обеспечивающих данный результат, тем выше вероятность, что выпадет именно он.

Как насчет броска одной-единственной игральной кости и удвоения выпавшего числа? Теперь второй бросок полностью зависит от первого; одно событие замаскировано под два. Таким образом, крайние результаты столь же вероятны, сколь и серединные.

Потрясающая разница. Независимость сглаживает крайности; зависимость усугубляет их.

Мы можем расширить масштаб. Давайте бросим не два кубика, а миллион. Теперь результаты варьируют от 1 000 000 (сплошные единицы) до 6 000 000 (сплошные шестерки).

Что, если каждый кубик выпадает сам по себе, вне зависимости от 999 999 других? Тогда мы оказываемся в стабильном мире долгосрочных тенденций, где великолепные шестерки и огорчительные единицы выпадают с равной вероятностью. Подавляющее число результатов будет лежать ближе к центру диапазона, вдали от двух его краев. С вероятностью 99,9999995 % мы получим результат от 3,49 до 3,51 миллиона. Почти невозможно, чтобы единица выпала в миллионе случаев: вероятность составляет менее чем единицу, деленную на гугол гуголов гуголов гуголов гуголов… (Я бы мог напечатать «гуголов» оставшиеся 700 раз, но вы уловили общую идею.)