Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства - Леонард Млодинов

В гимназические дни Эйнштейн открыл для себя книгу о Евклиде. В отличие от Декарта и Гаусса, Эйнштейн стал поклонником античного ученого: «Там нашлись такие утверждения, как, например, пересечение трех высот треугольника в одной точке, которые, какими бы неочевидными ни были, могут быть доказаны с такой доподлинностью, что не остается места никаким сомнениям. Эта ясность и определенность произвели на меня неописуемое впечатление»[231]. Парадоксально, однако в позднейших теориях Эйнштейна ключевую роль играет неевклидова геометрия. Но в специальной теории относительности Эйнштейн применил подход Евклида. Он основывал свои рассуждения на двух аксиомах о пространстве:

Первую аксиому Эйнштейна, обычно именуемую принципом относительности (Галилея), впервые постулировал Орем. Она истинна даже в пределах ньютоновой теории. Однажды Николай катался по квартире на пластмассовой пожарной машине. Алексей, поглощенный чтением какого-то детского ужастика, сидел на стуле в нашей проезжей кухне. Проносясь мимо, Николай выставил пластиковый топор, предусмотрительно приобретенный вместе с машиной и шлемом. Топор вышиб книгу у Алексея из рук, и вместе они — топор и книга — упали, спровоцировав братьев на традиционные взаимные обвинения. Алексей заявил, что это проезжавший мимо Николай воткнул в него топор и сбил книгу на пол. Николай же утверждал, что он держал топор неподвижно, а Алексей на него налетел. Отец обоих, предпочтя не влезать в юридические разбирательства, разразился лекцией о научной стороне ситуации.

Законы Ньютона предсказывают одни и те же события и в случае статичности Николая и подвижности книги Алексея, и в случае статичности Алексея и подвижности топора Николая. Таков первый постулат Эйнштейна: невозможно отличить первое от второго, и поэтому позиция обоих мальчиков в равной степени легитимна. (Досталось обоим.)

Вторая аксиома Эйнштейна, как и первая, тоже не революционна. Как мы уже видели, уравнения Максвелла требуют, чтобы скорость света не зависела от источника, и это никого не беспокоило, поскольку таково нормальное поведение распространяющихся волн. Соль допущения Эйнштейна — именно во второй части формулировки: «…и одинакова для всех наблюдателей». Что это значит?

Если бы вы могли утверждать, что движетесь, это ничего бы не значило: все наблюдатели могли бы согласиться, что скорость света есть скорость, с которой он приближается к «покоящемуся» объекту. Так обстоят дела в рамках законов Ньютона: пространство, или эфир, абсолютны и являются системой отсчета, относительно которой может быть измерено любое движение. Но если невозможно отличить покой от равномерного движения, все наблюдатели меряют одну и ту же скорость приближающегося света, находятся они сами в движении или нет, — и тут-то мы и натыкаемся на тот самый парадокс с плевками, о котором уже говорили. Как же может свет приближаться и к вам, и к вашему плевку с одинаковой скоростью?

Чтобы понять такое поведение света, следует задаться вопросом, что́ стоит за нашими рассуждениями. Если станем принимать эти две аксиомы Эйнштейна, кхм, аксиоматически, вопросов у нас не может быть. А какие еще допущения мы сделали? Мы прочно оперлись на понятие одновременности, поэтому естественно разобраться именно с ним. Вот этим Эйнштейн и занялся.

Рассмотрим ситуацию, похожую на ту, что сам Эйнштейн в 1916 году осмыслил в своей книге «Относительность»[232]. Эйнштейну нравилось применять аналогии с железной дорогой: опыт катания на поездах обеспечил ему очевиднейшее практическое доказательство невозможности определить, находишься ли ты в равномерном движении. Всякий, кому доводилось ездить по железной дороге или в метро, вероятно, имеет тот же опыт, что получил Эйнштейн в свое время: невозможно понять, твой вагон движется, соседний или оба. В нашем примере Алексей и Николай размещаются на разных концах вагона метро. Они впервые катаются на метро одни, без родителей. Родители стоят на платформе и машут им, надеясь, что знаки «Вагон неисправен», которые они наклеили на окна, до некоторой степени уберегут детей от толчеи. Положим, мама с папой стоят на платформе на таком же расстоянии друг от друга, что и Алексей и Николай, и тем самым вскоре после отправления состава, мама поравняется с Алексеем, а папа — с Николаем. Они расположились так неспроста: у них с собой фотоаппараты. Маме хочется запечатлеть первую поездку сыновей, а папе — иметь подходящие снимки для полиции, на случай, если дети не вернутся к назначенному сроку. Смиряясь перед законом природы, именуемым братским соперничеством, мама и папа собираются сделать снимки в один и тот же миг: мама сфотографирует улыбающегося Алексея, а папа — Николая. А раз фото одновременные, ни одному сыну не удастся потом хвастаться, что его фото сделали первым. И все-таки обстоятельства готовят семье братскую междоусобицу.

Причина этой распри — в ответе на простой вопрос, поставленный Эйнштейном: два события, которые считают одновременными родители, сочтут ли таковыми дети? Наша первая загадка такова: что именно значит оборот «два события происходят одновременно»? Если два события происходят в одном и том же месте, ответ тривиален: они одновременны, если происходят в одно и то же время (замеренное по часам, находящимся в этом месте). А вот если эти события происходят не в одном и том же месте, ответ получается совсем не тривиальным и для понимания требует подлинной проницательности.

Предположим, свет (или что угодно еще, чем можно отправить сигнал) движется с бесконечной скоростью. Тогда в миг, когда сработали обе фотовспышки, их свет мгновенно достиг Алексея и Николая. Они в таком случае могли бы запросто ответить на вопрос об одновременности, сравнив события в некоторой точке, в данном случае — время достижения светом от вспышек его точек назначения. Если они увидели сначала одну вспышку, значит, ту фотографию сделали первой. Однако поскольку свет перемещается не с бесконечной скоростью, этот подход не сработает. У папы, главного ученого в семье, возникает предложение. Он устанавливает фотодетекторы вдоль дистанции между ним и мамой. Если снимки делаются в одно и то же время, свет вспышек должен пересечься строго посередине между ними. Николай, услышав это соображение, тут же его присваивает (такая вот у него милая привычка). Алексей устанавливает фотодетекторы в их с Николаем вагоне.

Поезд трогается. Мама и папа синхронизировали часы. Снимки сделаны. Да, световые лучи от вспышек пересекаются ровно на полпути между мамой и папой. Довольны ли Алексей с Николаем? Нет — потому что когда лучи вспышек пересекаются, их вагон уже проехал чуточку дальше, поэтому, если смотреть из вагона, лучи вспышек пересеклись не строго посередине. Всю эту историю иллюстрирует рисунок на следующей странице.