Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Пока в один прекрасный день не появляется очень странный визитер.

Вначале сфера выглядит всего лишь как точка, появившаяся из ниоткуда. Затем, по мере ее прохождения через Флатландию, рассказчик (по имени Квадрат) видит окружность, постепенно растущую в размерах.

В самом деле необычайно! Представьте себе, что бы вы чувствовали, если бы какой-то парень прошел через дверь и в этот момент увеличился в росте от 1,2 м до 1,8 м. (Возможно, вы бы ощутили себя, как я каждый раз, когда веду уроки у девятиклассников.) Квадрат задался вопросом, что же за чертовщина здесь происходит, но получил только зашифрованные ответы наподобие этого:

С помощью этих странных разглагольствований сфера находит способ рассказать о своей природе. Сфера – это стопка бесконечного множества дисков, отличающихся радиусом и чрезвычайно тонких. Понять сферу означает совместить – суммировать – все эти маленькие круги в единое целое.

Сфера – это интеграл окружностей.

Если вы посещали курс математического анализа на первом году обучения, то ранее уже встречались с этим понятием. Это завершающая тема, где лихо закручивается идея трехмерности.

(Предупреждение: если вы чувствительны к укачиванию и плохим каламбурам, обратите внимание на слово «закручивается».)

Для начала возьмите плоскую двухмерную область. Затем раскрутите ее вокруг оси, как жесткий флажок вокруг палки. Пространство, через которое она проходит, оформится в виде трехмерного объекта, называющегося «тело вращения».

Это вращение, как на гончарном круге, превращает двухмерные области в трехмерные объекты, Флатландию – в Трехмерие. Если вы хотите узнать объем созданного нами тела, подход будет очень простым: проанализируйте его как стопку бесконечного количества плоских дисков и объедините их.

Чтобы высчитать объем сферического «злоумышленника», вначале мы должны выбрать подходящую двухмерную область. Какая форма при вращении вокруг своей оси, как цыпленок на вертеле, создаст сферу с диаметром 13 см?

Подключите свой внутренний 3D-принтер, и, думаю, вы обнаружите, что этот фокус проделывает полукруг.

Забавный факт про полуокружности: они полны радиусов. Забавный факт про радиусы: каждый из них является гипотенузой прямоугольного треугольника. Это означает, что координаты каждой точки полуокружности подчиняются теореме Пифагора.

После небольших алгебраических манипуляций, которые я, как и любой рачительный хозяин, замел под ковер, чтобы спрятать из виду, мы получаем соответствующий интеграл. Это будет бесконечное количество бесконечно тонких дисков. Они начинаются с нулевого радиуса, возрастают до радиуса 6,5, а затем снова уменьшаются до нуля. Совсем как сфера, проходящая через Флатландию.

Я снова скрою от вас алгебраические детали и дам вам непосредственно конечный результат. Объем таинственной сферы равен или приблизительно 1150 кубических единиц.

В двух идущих друг за другом главах мы рассчитывали объем сферы. Возможно, вы заметили общие моменты. Оба метода начинают с того, что задача делится на две части, оба предполагают бесконечное рассечение, в обоих есть забавные картинки. И тем не менее они оставляют совершенно разное послевкусие, не так ли? Я лично предпочитаю доказательство Архимеда. Оно быстрое. Оно здравое. Детали в нем хорошо подогнаны друг к другу. Это работа мастера, это искусность и даже искусство.

Что же касается подхода с «телом вращения» – я не могу сказать, что он тешит душу. После многообещающего эстетического начала (вращение! бесконечные слои!) он заканчивается несколькими строчками грубой алгебры. Это словно прогулка пешком, которая каким-то образом ведет с живописной вершины холма в терминал аэропорта. Элегантная загадка, таким образом, сводится к упражнению.

И в этом-то все дело!

Мы все не можем быть Архимедами. На самом деле статистика доказывает, что никто из нас им не является. Если мы будем полагаться на космические озарения, чтобы решить стоящие перед нами задачи, нам придется ждать тысячелетия. Чтобы что-нибудь сделать, нам нужно превратить мистику в механику, текучее в статичное, невыразимое в нечто, что можно описать.

Тела вращения полностью выражают эту мысль. Любой из нас может спокойно пройти по пути, который раньше мог проделать только Архимед. В этом вся суть математического анализа: дать системный подход к решению задач, пугающих своей сложностью. Сделать каждого из нас Архимедом на автопилоте. Огромное семейство фигур – от кубов и конусов до пирамид и фигурок Микки-Мауса – можно рассечь и изучить с помощью тел вращения.