Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Но дело обстояло намного хуже. Они сражались с Архимедом.

В обойме величайших математиков всех времен и народов Архимед единодушно признается ученым «первого ряда». Галилей называл его «суперчеловеком». Лейбниц твердил, что этот грек изменил само представление о гениальности, выставив более поздних мыслителей скучными и обыденными по сравнению с ним. «В голове Архимеда было больше воображения, – писал Вольтер, – чем у Гомера». Впрочем, Архимед, разумеется, никогда не получал Филдсовскую медаль – самую почетную в математике, но в его защиту можно сказать, что лицо мыслителя изображено на этой медали.

Хотите получить представление о его уме? Возьмите куб и разрежьте его на три равные части.

Три получившиеся фигуры – это идентичные пирамиды, каждая из которых имеет квадратное основание и острую вершину над одним из углов основания. Таким образом, каждая из них должна занимать 1/3 объема первоначального куба.

Пока все идет замечательно, но мы только начали.

Возьмите одну из этих пирамид и нарежьте ее на бесконечное количество чрезвычайно тонких ломтиков. Если я сделаю это правильно – а, принимая во внимание мою неуклюжесть в обращении с обычными кухонными ножами, вы, возможно, захотите лишний раз проверить мою работу с этим бесконечным концептуальным ножом, – каждое поперечное сечение должно быть идеальным квадратом.

Самый нижний квадрат представляет собой основание куба. Самый верхний выходит таким крошечным, что является одной-единственной точкой. Между этими двумя крайними случаями есть множество других квадратов промежуточного размера.

Теперь перейдем к дальнейшим действиям. Представьте себе эти квадраты как стопку бесконечного количества карт, каждая из которых толщиной с волос. Если перекладывать их с места на место, то объем не изменится, так что поехали! В данный момент у всех наших квадратов есть общий угол. Но почему бы не переместить их так, чтобы у них был общий центр? Это превратит нашу асимметричную пирамиду странного вида в классическую, в египетском стиле.

Самое замечательное – это то, что объем не изменяется. Он так и остается 1/3 от объема куба.

Теперь мы подошли к настолько гениальному и удобному шагу, что, когда математик Бонавентура Кавальери переоткрыл его в начале XIX в., его назвали «принципом Кавальери». На самом деле этот принцип придумал Антифон (V в. до н. э.), развил Евдокс (IV в. до н. э. – в действительности он впервые привел аргумент, о котором я говорю сейчас) и усовершенствовал Архимед (III в. до н. э. – вскоре мы доберемся до его уникального дополнения). Я собираюсь назвать его в честь охватившей ряды римлян паники «принципом бесчисленных бед».

Идея проста. Если вы имеете дело с трехмерными фигурами, то объем не меняется, когда вы заменяете одни поперечные сечения другими той же площади. Например, мы можем поменять наши квадраты на прямоугольники. Объем полученной теперь продолговатой пирамиды по-прежнему составляет 1/3 призмы, ранее известной как куб.

Или – эндшпиль великого гроссмейстера – мы можем превратить наши квадраты в круги. Неважно, что в действительности это делается с помощью карандаша и бумаги, называется квадратурой круга и по-настоящему невозможно. На практике – это для гимнастов, мы же с вами скользим по облакам чистой геометрии. Поэтому просто представьте, как каждый квадрат медленно превращается в круг, а площадь его не меняется.

Наша пирамида становится конусом. Наш куб становится цилиндром. И, таким образом, конус составляет 1/3 цилиндра, который содержит его.

Довольно круто, правда? Во II в. Плутарх писал:

Тем не менее эти экскурсы в геометрию не описывают «военного гения». Читатель должен поинтересоваться: откуда взялись военные машины, сразившие римлян?

«Сам Архимед считал сооружение машин занятием, не заслуживающим ни трудов, ни внимания, – отмечал Плутарх, – большинство их появилось на свет как бы попутно, в виде забав геометрии». Как бы странно это ни звучало, такое часто происходит в истории математики. Бесцельная игра фантазии каким-то образом ведет к технологическому прорыву.

Хотя римляне не особенно оценили чисто математические достижения, они явно отдали должное смертельным когтям, крушившим их суда. Распознав в себе грабителей из древнего приквела к «Один дома», генерал Марцелл и его армия отступили.

В один прекрасный день несколько месяцев спустя Архимед рисовал фигуры на песке. Мне нравится представлять, что он вспоминал свое любимое доказательство – теорему, которую он велел друзьям и родным написать на его могиле.

Она начинается со сферы.

Мы заключаем ее в цилиндр, идеально подогнанный, как упаковка – к теннисному мячу.