Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

В задаче предлагалось сконструировать наклонный путь, по которому шарик переместится из верхней точки А в нижнюю точку Б за самое короткое возможное время. Может показаться, что самым быстрым будет спуск по прямой. Или, может быть, по параболе, подобной той траектории, по которой следует шарик, подброшенный в воздух. На самом же деле ни одно из этих решений не будет правильным. Самым быстрым оказывается спуск по циклоиде – траектории, которую описывает точка на ободе катящегося велосипедного колеса.

Рис. 6.4. Циклоида: кривая, описываемая точкой окружности, катящейся по прямой

Если я переверну эту кривую, получится наискорейший спуск из А в Б. Кривая опускается ниже уровня конечной точки, и шарик набирает бо́льшую скорость, что позволяет ему преодолеть финишный подъем и докатиться до цели быстрее, чем по любой другой кривой.

Поскольку матанализ может находить минимальное и максимальное значения переменной при определенных условиях, существование бесконечного множества кривых, ведущих из А в Б, не имеет значения. Уравнения всегда позволяют нам найти самую скоростную из них.

В конце концов Ньютон и Лейбниц ввязались в ожесточенный спор о том, кто первым открыл этот поразительный шорткат к нахождению оптимальных решений задач. В течение нескольких лет они обменивались колкостями и обвинениями, пока наконец в 1712 году Лондонскому королевскому обществу не предложили рассудить их спор: действительно ли Ньютонов «метод флюксий», как называл его сам Ньютон, был открыт раньше, и содержится ли в дифференциальном методе, изобретенном Лейбницем, плагиат его идей. В 1714 году Королевское общество официально объявило создателем математического анализа Ньютона и, хотя и признало, что Лейбниц первым опубликовал свое изобретение, обвинило Лейбница в плагиате. Однако доклад Королевского общества по этому вопросу, вероятно, нельзя считать вполне беспристрастным: дело в том, что составил его президент общества, некий сэр Исаак Ньютон.

Лейбница это задело чрезвычайно сильно: он восхищался Ньютоном и так никогда по-настоящему и не оправился от этой обиды. Но по иронии судьбы в конце концов одержала верх та трактовка математического анализа, которую предлагал Лейбниц, а не Ньютон.

Хотя у основополагающих идей Лейбница было много общего с принципами, которыми руководствовался при разработке математического анализа Ньютон, между ними было и важное различие. Лейбниц пришел к своему анализу с более лингвистической, математической стороны. Его не интересовали ни падающие яблоки, ни определение изменений их скорости во времени; он рассматривал гораздо более общую картину. Матанализ Лейбница был предназначен для описания объектов, зависящих от нескольких факторов, для нахождения последствий изменения этих факторов.

Ньютон был в душе физиком, и его стремление описывать физический мир, вероятно, стесняло его возможности. Язык и обозначения, введенные Лейбницем, были гораздо более гибкими и пригодными для использования в разных ситуациях. Именно обозначения Лейбница выдержали проверку временем и преподаются в школах и университетах до сих пор.

По правде говоря, и Лейбниц, и Ньютон лишь начали процесс разработки математического анализа. Трактаты и аналитические выкладки обоих обладают многочисленными недостатками. Задача создания прочных логических основ матанализа выпала на долю следующего поколения. Но нельзя отрицать, что успехи следующего поколения стали возможными лишь благодаря тем революционным открытиям, которые совершили Ньютон и Лейбниц. Говоря словами знаменитого высказывания Ньютона: «Если я и видел дальше других, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов»[93].

Однако возможно, что и Ньютона, и Лейбница опередили с созданием математического анализа другие соперники. Судя по некоторым данным, в животном царстве научились находить оптимальные решения задолго до того, как люди открыли для себя шорткат матанализа.

Вернемся к нашему доверенному советнику: он уже получил свой максимальный земельный надел, определенный при помощи матанализа, и теперь отдыхает на пляже. Внезапно он замечает в море попавшего в беду пловца. Он зовет дежурящую на пляже женщину-спасателя, призывая ее спасти тонущего.

Рис. 6.5. Какой путь нужно выбрать спасателю, чтобы быстрее всего добраться до тонущего пловца?

Предположим, что спасатель бегает в два раза быстрее, чем плавает. В какой точке ей следует войти в воду, чтобы спасти тонущего быстрее всего?

Если бы спасатель старалась минимизировать расстояние, которое ей нужно преодолеть, она бы просто провела прямую линию между начальной и конечной точками. Но, поскольку в воде спасатель перемещается медленнее, чем на суше, на самом деле ей нужно выбрать маршрут, сокращающий время плавания. Однако, если она побежит к точке, плавание из которой займет наименьшее время, возникнет другая проблема. В этом случае ей придется преодолеть большее расстояние по пляжу, что в конечном счете увеличит общее время. Видимо, оптимальным решением будет отправить спасателя в некоторую точку, расположенную справа от пересечения береговой линии с прямой между ними, но не доходя до места, в которое приходит перпендикулярная берегу прямая, проведенная от местоположения пловца. Где же лучше всего войти в воду, чтобы найти истинный шорткат к тонущему пловцу?

Ферма размышлял и об этой задаче. Это еще одна задача на оптимизацию. В варианте Ферма речь шла не о поиске самого быстрого маршрута для спасателя, а о пути, по которому распространяется луч света.

Вам, возможно, знакома странная иллюзия, возникающая в бассейне, когда внезапно начинает казаться, что на опущенной в воду палке появляется излом. На самом деле изгибается не палка, а свет, проходящий от палки до глаза наблюдателя. Как я уже говорил в главе 4, свет обожает шорткаты. Он старается найти кратчайший путь от палки до глаза. Но в воде свет распространяется медленнее, чем в воздухе. Поэтому он, как и наша спасатель, старается провести в воде как можно меньше времени, но так, чтобы время, проведенное в воздухе, не было чрезмерно долгим. Тот же принцип объясняет странные миражи, которые можно увидеть в пустыне. Свет, испускаемый участком неба, распространяется по кратчайшему пути через нагретый воздух, расположенный ближе к земле, а затем попадает в глаза, в результате чего кажется, что небо, похожее на воду, находится на земле.