Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Спасателю, как и советнику с его изгородью, нужно составить уравнение относительно времени, которое займет путь до пловца, если войти в море в Х метрах от начальной точки. Затем она сможет найти при помощи математического анализа значение Х, при котором это время будет наименьшим. Но что делать, если у вас под рукой нет ни бумаги, ни карандаша? Если алгебра и матанализ еще не изобретены? Что делать, если полагаться можно только на интуицию и ощущения? Что делать, если вы собака? Насколько хорошо собака сумеет определить правильную точку входа в воду?

Тим Пеннингс, профессор математики в Мичиганском университете Хоуп и собаковод, решил провести несколько экспериментов, чтобы проверить, насколько хорошо решает эту задачу из математического анализа его собака. Как и многие другие собаки, его вельш-корги по кличке Элвис обожает гоняться за мячиком. Поэтому Пеннингс решил, что проведет эксперимент, не спасая тонущих пловцов, а бросая мячик в озеро Мичиган во время прогулок с Элвисом и наблюдая за тем, какой маршрут к мячику Элвис будет выбирать.

Разумеется, главной целью Элвиса могла быть минимизация количества сил, затраченных на добывание мячика. В этом случае оптимальным решением было бы сократить до минимума время пребывания в воде и бежать к точке, в которой берег пересекает перпендикулярная к нему прямая, проведенная по поверхности озера. Но Пеннингс видел по блеску в глазах Элвиса и сильнейшему возбуждению собаки в тот момент, когда мячик вылетал из его руки, что Элвис стремится добраться до мячика как можно быстрее. Таким образом, все было готово для эксперимента по изучению интуитивных способностей Элвиса к математическому анализу.

Он вышел на прогулку с Элвисом в один из дней, когда на озере Мичиган не было сильного волнения и мячик, упавший в воду, не могло унести слишком далеко. Пеннингс, которому помогал друг, бросил мячик, побежал вслед за собакой и воткнул в землю отвертку в том месте, где Элвис зашел в воду. Затем он измерил рулеткой расстояние, которое Элвис проплыл до мячика.

В эксперименте было несколько фальстартов, когда Элвис бежал прямо к воде, выбрав явно не самый оптимальный маршрут. Пеннингс решил не учитывать эти попытки в своем анализе. «Даже у отличников бывают неудачные дни», – сказал он. Тем не менее к концу дня ему удалось собрать 35 результатов наблюдений за тем, как Элвис решал эту задачу. Какие же результаты показала собака? На удивление хорошие! В большинстве случаев Элвис оказывался довольно близко к оптимальной точке входа в воду. Отклонения Элвиса вполне можно отнести на счет несомненно случавшихся изменений условий эксперимента.

Значит ли это, что Элвис умеет использовать шорткат матанализа? Разумеется, нет. Но мозг животного поразительным образом развил способность находить такие шорткаты, не используя формального математического языка. Природа благоволит к тем, кто способен оптимизировать решения, так что у животных, которые могли интуитивно решать такие задачи, было больше шансов выжить, чем у тех, кто ошибался. Но способности мозга по части интуитивных оценок не безграничны. Поэтому когда Джон Гленн ожидал старта на пусковой площадке на мысе Канаверал, он не полагался на свою интуицию, а хотел, чтобы цифры, определяющие оптимальный маршрут, который позволит ему вернуться на Землю, проверили при помощи созданного человеком мощного инструмента, который мы называем математическим анализом.

Иногда животные решают задачи, подобные той, которую задали псу Элвису, коллективными усилиями. Есть данные, свидетельствующие, что обитатели муравейника находят оптимальные пути в ситуациях, похожих на задачу про спасателя, не хуже чем Элвис. В этом случае вместо мячика использовалась пища – таракан. В эксперименте с огненными муравьями, который поставили исследователи из Германии, Франции и Китая, муравьи находили наилучшие маршруты для доставки пищи в муравейник через две разные области. Многочисленные муравьи расходились в разные стороны и экспериментировали с разными маршрутами. Они помечали свой путь феромонами, что позволяло другим муравьям следовать за ними. По мере того, как все больше муравьев находили оптимальное решение, феромоновый след на соответствующем маршруте становился все сильнее.

Собственно говоря, действия муравьев были похожи на механизм, при помощи которого, как мы считаем, находит оптимальный путь свет. Откуда отдельному фотону света знать, какой путь наилучший? Квантовая физика утверждает, что фотон пробует одновременно все пути, а затем происходит коллапс его волновой функции на оптимальной траектории, когда такая обнаруживается. Муравьи используют сходную стратегию: они пробуют все возможные варианты, для чего требуется множество муравьев, пока не находят наилучший маршрут.

Природа очень хорошо умеет находить оптимальные решения. Свет находит самый быстрый путь к цели. Современная физика считает гравитацию падением материи сквозь геометрию пространства-времени по пути, обеспечивающему минимальную длительность падения. Подвешенные цепи помогли Рену решить задачу создания устойчивого купола. Мыльные пузыри используют минимизацию энергии в сферической форме. В не столь давние времена, в 1972 году, свойства мыльных пленок учел при проектировании мюнхенского олимпийского стадиона архитектор Фрай Отто. Чтобы сделать необычный волнистый навес, покрывающий стадион, конструктивно устойчивым, Отто анализировал образование мыльных пузырей на металлической раме.

Странная способность природы находить оптимальные низкоэнергетические решения получила математическое выражение в первой половине XVIII века, в принципе наименьшего действия Пьера Луи де Мопертюи. Мопертюи объяснял, что его математические выкладки сводятся к одной догме: «Природа экономна во всех своих действиях». Почему именно природа столь прижимиста, до сих пор не вполне понятно. Но иногда под рукой не оказывается собак, муравьев или мыльных пузырей, которые могли бы помочь нам найти нужный ответ. Тогда мы прибегаем к поразительному инструменту, который создали Ньютон и Лейбниц. Математический анализ был и будет поразительнейшим шорткатом к оптимальным решениям задач, с которыми мы сталкиваемся.

Вот что сказал о матанализе величайший мастер шортката Гаусс: «Такие концепции как бы объединяют в некое органическое целое бесчисленные задачи, которые иначе оставались бы изолированными, а решение их по отдельности требовало бы большего или меньшего приложения изобретательного разума».

Хотя матанализ – один из наших величайших шорткатов, его применение требует некоторых технических навыков. Хотя многие и думать не хотят об изучении даже краткого курса анализа, полезно хотя бы знать, что такая методика нахождения оптимальных решений существует. Многие пути требуют технического руководства, помогающего не заблудиться в потенциально трудных местах. Поэтому, если у вас есть изменяющиеся параметры и вы хотите найти оптимальные значения этих переменных, лучшим для вас шорткатом может быть обращение к специалисту по математическому анализу. Как признавал сам Ньютон, стоять на плечах гигантов всегда полезно. А иногда бывает и так, что техническое руководство можно найти не у местного математика, а в природе. Всегда имеет смысл проверить, не найдено ли уже самой природой оптимальное решение вашей задачи. Мыльная пленка может подсказать низкоэнергетическое решение инженерной задачи. На шорткат может навести луч света. А может быть, шорткат найдут муравьи, перепробовавшие множество других вариантов.