Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Гугология – поиск новых способов определения все бо́льших и бо́льших чисел – стала настолько популярной, что в этой области уже проводятся конкурсы. Один из первых, Bignum Bakeoff[48], организовал в 2001 году американский вундеркинд Дэвид Мейз. Перед участниками стояла задача написать на языке C программу не длиннее 512 символов (не считая пробелов), возвращающую как можно большее число. Поскольку для реального выполнения поданных на конкурс программ современным компьютерам понадобилось бы больше времени, чем существует Вселенная, код анализировали вручную, а победителя определяли на основании позиции в быстрорастущей иерархии. Первое место заняла программа loader.c, названная именем ее автора Ральфа Лоудера из Новой Зеландии. Для вычисления окончательного результата потребовались бы невероятно долгое время и машина с чудовищным объемом памяти. Но если бы это все же было возможно, то полученное число Лоудера затмило бы собой и TREE(3), и некоторых других героических обитателей гугологического космоса: таких, например, как SCG(13) – тринадцатый элемент последовательности, именуемой “числа субкубических графов” (схожей с последовательностью TREE, но состоящей из графов, в которых у каждой вершины не больше трех ребер).

В 2007 году в рамках конкурса Big Number Duel[49] в непримиримом поединке за самое большое число сошлись двое философов, старых школьных приятелей – Агустин Райо (он же Мексиканский Множитель) из Массачусетского технологического института и Адам Элга (он же Доктор Зло) из Принстона. Победителем становился тот, кто даст определение самому колоссальному числу. Схватка, в которой обмен остротами и сложнейшая математическая, логическая и философская полемика сочетались с драматизмом боя за звание чемпиона мира по боксу, проходила в забитой до отказа аудитории центра “Стата” МТИ. Первый удар нанес Элга, начертав на доске единицу (видимо, в надежде, что его соперник не в форме). Райо незамедлительно парировал этот выпад, заполнив единицами всю доску. Элга тут же удалил часть линии у основания всех единиц, кроме первых двух, превратив их тем самым в знаки факториала. Так поединок продолжался, постепенно выходя за рамки знакомой математики, пока соперники не стали на ходу изобретать собственную нотацию для все больших чисел. Говорят, что в какой-то момент один из зрителей спросил Элгу: “А это число вообще можно вычислить?” На что тот после краткой паузы ответил: “Нет”. Наконец Райо отправил соперника в нокаут сокрушительным числом, описанным им как “наименьшее положительное число, большее любого конечного положительного числа, которое может быть выражено на языке теории множеств первого порядка с использованием не более чем гугола символов”. Мы не знаем, насколько велико число Райо, и, скорее всего, никогда не узнаем. Ни один компьютер никогда не сумеет его вычислить, даже если бы во Вселенной хватило места для гугола символов. Дело здесь не в нехватке места или времени: число Райо невычислимо, так же как неразрешима проблема остановки.

Афиша конкурса Big Number Duel, проходившего в Массачусетском технологическом институте.

На сегодняшний день, если говорить о более-менее осмысленных больших числах, число Райо – своего рода граница, отделяющая нас от неизвестного. Называли и бо́льшие числа, такие, например, как BIG FOOT, объявленное в 2014 году. Но чтобы получить хотя бы смутное представление о BIG FOOT, нам придется погрузиться в странную область под названием “вселенная куч” (oodleverse) и выучить язык теории куч первого порядка – а здесь не обойтись без ученой степени в области высшей математики и очень своеобразного чувства юмора. Да и в любом случае все самые большие на сегодня числа построены по тому же принципу, что и число Райо.

Чтобы еще глубже проникнуть в бескрайнее пространство чисел, гугологам нужно развивать существующие методики или разрабатывать новые, так же как освоение все более дальних просторов космоса требует новых прорывов, больших и малых, в двигателестроении. А пока охотникам за большими числами придется полагаться на те же приемы, что использовал Райо, только применять их уже к расширенной версии теории множеств первого порядка. Можно, например, добавить в нее аксиомы, которые позволят оперировать бесконечностями еще более грандиозного масштаба, а с их помощью уже генерировать новые рекордные конечные числа.

Если говорить начистоту, вся эта суета с описанием больших чисел ради рекордов не слишком волнует профессиональных математиков, так же как они не видят особого смысла в вычислении все большего и большего количества знаков числа пи. Гугология все же скорее хобби – этакий интеллектуальный мачизм, гонки NASCAR для специалистов по теории чисел. В то же время нельзя сказать, что пользы от нее никакой: она помогает нам осознать пределы нашей сегодняшней математической вселенной, подобно тому как наблюдение небесных тел с помощью самых мощных телескопов раздвигает границы физического космоса.

Заманчиво думать, что огромные числа вроде числа Райо дают нам возможность немножко приблизиться к бесконечности. Но на самом деле это не так. Бесконечные числа можно использовать для получения конечных, но конечное и бесконечность никогда не сольются. Правда в том, что, как бы мы ни старались, какие бы методики ни изобретали для описания все бо́льших и бо́льших чисел, мы ни на шаг не ближе к бесконечности, чем в детстве, когда умели считать только до трех.

В одной старой шутке говорится, что тополог – это человек, неспособный отличить кофейную чашку от бублика. Хотя точнее было бы сказать, что это человек, для которого различие между ними несущественно. В топологии чашка и бублик эквивалентны, поскольку (если предположить, что и то и другое сделано из пластичного материала вроде глины) из первого можно постепенной деформацией получить второе: ручка чашки превращается в отверстие бублика, а самой чашке можно придать форму кольца вокруг этого отверстия. Слово “отверстие” здесь имеет четко определенное значение. В топологии отверстие обязано иметь два конца и пронизывать предмет насквозь, как дырка у бублика, или, говоря по-научному, у тора. То, что мы в быту часто называем отверстием, – например, просверленное в стене углубление под шуруп – для тополога таковым не является, потому что оно не имеет двух входов и его можно постепенно деформировать так, чтобы оно полностью сгладилось. Если в двух словах, топология изучает такие свойства объектов, которые остаются неизменными, когда форма объекта меняется, но при этом сам он не разрезается и в нем не проделываются новые отверстия. Топология – современное расширение геометрии, порождающее множество парадоксальных выводов и дающее о себе знать в самых неожиданных местах.