Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

В 2016 году Нобелевская премия по физике была присуждена британским ученым Данкану Холдейну, Майклу Костерлицу и Дэвиду Таулессу за работы в области так называемых экзотических состояний материи. При определенных условиях – например, при очень низких температурах – свойства материалов могут неожиданно и резко меняться. Однажды февральским утром 1980 года немецкий физик Клаус фон Клитцинг, проводя эксперименты с переохлажденными сверхтонкими образцами из кремния, помещенными в мощное магнитное поле, обратил внимание на очень странное явление. Кремний вдруг стал или проводить электричество пакетами определенной величины – сначала один, за ним другой, вдвое больше, потом еще один, втрое больше, и так далее, – или не проводить вообще. Никаких промежуточных значений, как это происходит с обычным электрическим током, не было. Это явление известно как квантовый эффект Холла, а Клитцингу за открытия в этой области в 1985 году была присуждена Нобелевская премия по физике. В процессе эксперимента кремний, очевидно, внезапно перешел в какое-то новое физическое состояние, в котором, как всегда бывает в таких случаях, произошла перегруппировка атомов. Но теоретики тщетно пытались объяснить, как подобная перегруппировка могла произойти в слое кремния настолько тонком, что для перемещения атомов внутри него вверх или вниз просто не было места. Костерлицу и Таулессу пришла в голову оригинальная идея. При охлаждении, предположили ученые, атомы кремния объединялись в завихряющиеся па́ры, которые при достижении критической температуры перехода спонтанно разделялись, образуя два миниатюрных вихря. Таулесс взялся произвести математические расчеты, объясняющие эти вихревые переходы, и обнаружил, что лучше всего явление формулируется в терминах топологии. Электроны в преобразующемся материале образуют так называемую топологическую квантовую жидкость: некое состояние, в котором они передвигаются совместно только на целое число шагов. Работая независимо от Таулесса, Холдейн обнаружил, что эти жидкости могут спонтанно появляться в сверхтонких слоях полупроводников даже в отсутствие сильных магнитных полей.

После объявления в Стокгольме лауреатов Нобелевской премии 2016 года один из членов Нобелевского комитета поднялся со своего места и достал из бумажного пакета булочку с корицей, бублик и (шведский) крендель. Между ними, отметил он, есть множество различий: разный вкус, например, – что-то соленое, что-то сладкое, – да и внешне они не похожи. Но для тополога из всех различий имеет значение только одно – количество отверстий: ноль в булочке, одно в бублике и два в кренделе. Лауреаты премии, объяснил он, нашли способ связать внезапный переход в экзотические физические состояния с изменениями в топологии, то есть фактически с “дырковатостью” соответствующих абстрактных структур. Своим открытием они указали путь к новой, чрезвычайно важной сфере применения дисциплины, породившей некоторые из самых невероятных результатов в математике.

Возьмите две копии одной картинки. Одну из них разгладьте на столе, а вторую хорошенько помните (не разрывая) и положите сверху. Неоспоримый факт: как минимум одна точка изображения на мятой копии окажется непосредственно над соответствующей точкой на разглаженном листе. (Строго говоря, расчеты, объясняющие этот феномен, оперируют непрерывными величинами, а материя реального мира имеет зернистую природу, поскольку состоит из атомов и прочего, – и тем не менее получающийся результат служит весьма неплохим приближением.) Тот же эффект наблюдается и с трехмерными объектами: сколько бы вы ни мешали воду в стакане, как минимум одна из молекул после перемешивания окажется на том же месте, что и до него. Первым математиком, опубликовавшим доказательство этого феномена в начале XX века, был голландец Лёйтзен Брауэр, поэтому соответствующая теорема получила название “теорема Брауэра о неподвижной точке”.

В 1912 году Брауэр доказал еще одну любопытную теорему, сформулированную ранее выдающимся французским математиком Анри Пуанкаре, – так называемую теорему о причесывании ежа. Речь в ней идет о том, что, как бы вы ни старались пригладить иголки у свернувшегося в клубок ежа, невозможно добиться того, чтобы они лежали гладко в каждой точке, – где-то все равно будут стоять торчком. Брауэр (и Пуанкаре), правда, рассуждал не о ежах, а о более скучных вещах: непрерывном касательном векторном поле на сфере, которое должно иметь как минимум одну точку, где вектор обращается в ноль. Но суть та же самая. На практике это означает, например, следующее: поскольку скорость ветра у земной поверхности является векторным полем, теорема гарантирует, что на планете обязательно должно быть место, где ветер не дует. Еще одна общеизвестная метеорологическая истина, тесно связанная с теоремой о неподвижной точке, называется теоремой Борсука – Улама. Она гласит: в любой момент времени на Земле существуют две точки, расположенные на ее противоположных сторонах, где температура и давление абсолютно одинаковы. Вы вправе сказать, что подобное вполне может произойти и по чистой случайности, но теорема Борсука – Улама дает математическую гарантию, что это всегда так.

Еще один странный, но истинный факт, который выводится из теоремы Борсука – Улама, – это так называемая теорема о бутерброде. Согласно ей, любой бутерброд с ветчиной и сыром можно одним разрезом рассечь таким образом, чтобы в обоих получившихся кусочках было поровну и хлеба, и ветчины, и сыра. На самом деле для этого даже не обязательно, чтобы ингредиенты касались друг друга: хлеб может быть в хлебнице, сыр в холодильнике, а ветчина на столе. Или они вообще могут находиться в разных частях галактики. Так или иначе, всегда существует такой плоский разрез (другими словами, такая плоскость), который рассек бы все три объекта ровно напополам.

Все эти странные теоремы – о неподвижной точке, о причесывании ежа, о бутерброде, Борсука – Улама – уходят корнями в благодатную почву топологии (от греческого слова tópos – “место”). В быту нам нечасто приходится с ней сталкиваться. Любой из нас знаком с геометрией – древней наукой о форме, размере и относительном расположении фигур вроде треугольников, эллипсов, пирамид, сфер и прочих. Топология связана и с геометрией, и с теорией множеств и изучает, как мы уже упоминали, свойства тел, которые не изменяются даже тогда, когда тело сгибают или растягивают, – эти свойства называют топологическими инвариантами. Примером такого инварианта может служить, скажем, число измерений, связность или количество элементов, составляющих тот или иной объект.

Начало топологии как дисциплине было положено в XVII веке, когда немецкий ученый-энциклопедист Готфрид Лейбниц поднял вопрос о разделении геометрии на две части: geometria situs, или геометрию положения, и analysis situs, то есть анализ, или разбор, положения. Первая, куда входит фактически та геометрия, что мы изучаем в школе, имеет дело со знакомыми нам понятиями: углами, длинами, фигурами, тогда как analysis situs занимается абстрактными структурами, независимыми от этих понятий. Швейцарский математик Леонард Эйлер впоследствии опубликовал одну из первых работ по топологии, в которой доказал, что невозможно прогуляться по всем семи мостам старого портового города Кёнигсберга в Пруссии (ныне – Калининград в России), не пройдя ни по одному из них дважды. Результат не зависел ни от размеров мостов, ни от расстояний между ними, а только от того, как они соединяли между собой участки суши – острова в русле реки и ее берега. Эйлеру удалось найти общее правило для решения такого рода задач и тем самым дать дорогу в жизнь новой области исследований – разделу топологии под названием “теория графов”[52].