Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

* * *

Маки Кадзи — представленный мною в начале главы японец, который занимается созданием головоломок, — открыл новую эру в играх с числовыми квадратами. Идея посетила его, когда он просматривал один американский журнал головоломок. Поскольку английский — не его родной язык, он пролистывал страницы малопонятных игр, использующих слова, пока не наткнулся на загадочно выглядевшую сетку из чисел. То была головоломка под названием «Поставь числа на место». Она представляла собой частично заполненный латинский квадрат 9 × 9, в котором использовались цифры от 1 до 9. Рассуждая логически, игрок должен был заполнить пустые места числами, помня, что каждое число может появиться в каждой строке и каждом столбце только один раз. Задача облегчалась дополнительным условием: квадрат был разбит на девять подквадратов 3 × 3, выделенных жирным шрифтом. Каждое из чисел от 1 до 9 могло появляться в подквадрате лишь единожды. Кадзи решил головоломку «Поставь числа на место» и очень воодушевился — именно головоломки подобного типа он и хотел размещать в своем новом журнале.

Головоломка «Поставь число на место», впервые появившаяся в 1979 году, была творением Говарда Гарнса, в прошлом архитектора из Индии, на пенсии увлекшегося головоломками. Хотя Кадзи понравилось решать головоломку Гарнса, он решил переделать ее таким образом, чтобы заданные числа были распределены в симметричную структуру по сетке, подобно тому, как это имеет место в кроссвордах. Он назвал свой вариант судоку, что по-японски означает «число должно появляться только один раз».

Судоку

Кадзи поместил судоку в первых же номерах своего журнала головоломок, который начал выходить в 1980 году, но, по его словам, никто не обратил тогда на них никакого внимания. Лишь после того, как судоку пересекли границу Японии, они стали распространяться подобно лесному пожару.

Точно так же, как говорящие по-японски, но не знавшие английского люди могли понять, что требуется в головоломке «Поставь числа на место», говорившие по-английски, но не знавшие японского могли играть в судоку.

В 1997 году новозеландец по имени Уэйн Гоулд зашел в один из книжных магазинов в Токио. Увидев на полках только книги на японском языке, он поначалу слегка растерялся, но вдруг его глаз зацепился за что-то знакомое. Ему бросилась в глаза обложка книги, которая выглядела как кроссворд с расставленными в нем числами. Очевидно, это было нечто вроде головоломки, подумал он, но вот как она решается? Гоулд решил купить книжку и разобраться с ней потом. Во время отпуска, который он проводил на юге Италии, Гоулд наконец решил головоломку. Незадолго до того он вышел на пенсию — ранее он был судьей в Гонконге — и увлекся программированием на компьютере. Гоулд решил, что попробует написать программу, которая будет генерировать различные судоку. Программисту высшего класса для этого понадобилась бы пара дней, у Гоулда же на решение задачи ушло шесть лет.

Однако затраченные усилия стоили того, и в сентябре 2004 он смог убедить редакцию нью-гэмпширской газеты «Conway Daily Sun» опубликовать одну из своих головоломок. Успех превзошел все ожидания. В следующем месяце Гоулд решил попробовать силы в британской национальной прессе. Он полагал, что самый эффективный способ продвинуть свою идею состоит в том, чтобы предложить редакции готовый макет их газеты с уже помещенным в него судоку. Судебная практика в Гонконге многому его научила, так что изготовить хорошую подделку не составило большого труда. Он подготовил выглядевший достаточно убедительно «макет» приложения к «Times» и принес его с собой в главную редакцию этой газеты. Гоулду пришлось прождать несколько часов в приемной, но он все-таки сумел продемонстрировать свой самодельный номер кое-кому из сотрудников. Идея всем понравилась. Более того, не успел Гоулд уйти из редакции, как один из топ-менеджеров «Times» послал ему имейл с просьбой никому больше не показывать судоку. Первая головоломка была напечатана через две недели, а уже через три дня газета «Daily Mail» предложила свой собственный вариант. В январе 2005 года в игру вступила и «Daily Telegraph». Прошло совсем немного времени, и уже каждая британская газета считала своим долгом ежедневно публиковать подобную головоломку, чтобы не отставать от конкурентов. В тот год, по данным газеты «Independent», продажи карандашей в Великобритании возросли в 7 раз — по мнению газеты, это было связано с массовым помешательством на судоку. К лету в книжных магазинах, газетных киосках и в аэропортах появились отдельные полки со сборниками судоку, причем это наблюдалось не только в Соединенном Королевстве, но и по всему миру. По данным «USA Today» в 2005 году шесть из 50 наиболее популярных книг в списке бестселлеров были книгами по судоку. К концу года судоку распространились уже в 30 странах, а журнал «Time» назвал Уэйна Гоулда в числе 100 наиболее влиятельных людей года — он оказался в этом списке в компании Билла Гейтса, Опры Уинфри и Джорджа Клуни. К концу 2006 года головоломки судоку публиковались в 60 странах, а к концу 2007-го — в 90. По оценкам Маки Кадзи, число людей, регулярно решающих судоку, превышает ныне 100 миллионов.

* * *

Успешное решение всякой головоломки оказывает важное позитивное влияние на ваше эго, но дополнительное очарование в решении задачек судоку состоит отчасти во внутренней красоте и уравновешенности идеального латинского квадрата, определяющего их форму. Успех судоку — свидетельство уходящего в века и существующего в самых различных культурах фетиша в виде числовых квадратов. И в отличие от массы всяких других головоломок успех судоку — это одновременно и замечательная победа математики. Хотя в судоку нет никакой арифметики, решение требует абстрактного мышления, распознавания образов, логической дедукции и построения алгоритмов.

Например, как только вы поняли правила судоку, становится полностью ясной идея единственности решения. Для каждой числовой структуры в таблице имеется только одно возможное окончательное расположение для чисел в пустых клетках. Однако при этом не верно, что всякая частично заполненная таблица будет иметь единственное решение. Вполне может случиться, что некий квадрат 9 × 9 с расставленными в нем числами не имеет решения, как может случиться и то, что у данного квадрата будет много решений. Когда британский спутниковый канал «Sky TV» запустил Судоку-шоу, продюсеры нарисовали таблицу размером 275 на 275 футов на известняковом холме, расположенном где-то в сельской местности в Англии. Это, по их утверждению, было самое большое судоку в мире. Однако предложенные ими числа позволяли заполнить квадрат 1905 различными способами. Таким образом, разрекламированное самое большое судоку не имело единственного решения, а потому и не могло классифицироваться как судоку.

Область математики, имеющая дело с перечислением комбинаций (таких, например, как упомянутые 1905 решений фальшивого судоку, предложенного «Sky TV»), называется комбинаторикой. Она состоит из изучения перестановок и комбинаций предметов, подобных числам из таблицы. Кроме того, к комбинаторике относится и знаменитая задача о коммивояжере. Пусть, скажем, я — коммивояжер, и мне надо заехать в 20 магазинов. В каком порядке мне надо в них заезжать, чтобы полный путь, который я проделаю, оказался минимальным? Решение требует рассмотрения всех перестановок путей между всеми магазинами, и представляет собой классическую (и исключительно сложную) комбинаторную задачу. Подобные задачи постоянно возникают в бизнесе и промышленности; например, при составлении расписания вылета самолетов из аэропорта или при проектировании эффективной системы сортировки почты.