Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

нулей и чтобы он ограничивал диск. Кроме того, потребуем, чтобы любой вектор, начинающийся на ребре, указывал внутрь или наружу. Нам не нужны векторы, указывающие вдоль ребра. (Такой многоугольник всегда существует, хотя это и не очевидно.) На рис. 19.7 мы видим седло внутри квадрата и сток внутри шестиугольника, расположенные таким образом, что все векторы указывают внутрь или наружу.

Рис. 19.6. Индекс стока равен 1, а индекс седла равен –1

Рис. 19.7. Индекс седла равен 2(–1) + 1 = –1, а индекс стока — 6(–1) + 7(–1) = 1

Теперь выделим ребра и вершины, в которых векторное поле указывает внутрь. На каждом таком ребре поставим –1, а в каждой вершине 1. Наконец, поставим 1 в середину многоугольника. Оказывается, что сумма всех этих чисел равна индексу нуля. Мы видим, что это верно для седла и стока на рис. 19.7.

Вот теперь, наконец, мы можем сформулировать теорему Пуанкаре-Хопфа. Она дает топологический способ определить, есть ли ноль у векторного поля (или, что эквивалентно, есть ли неподвижная точка у потока). Кроме того, она проясняет вопрос об относительном числе нулей каждого типа на конкретной поверхности.

Теорема Пуанкаре-Хопфа

Для любого векторного поля на замкнутой поверхности S с конечным числом нулей сумма индексов всех нулей равна эйлеровой характеристике поверхности χ(S).

Прежде чем доказывать эту теорему, приведем несколько примеров. На рис. 19.8 показано три разных векторных поля на сфере. Первое, градиентное векторное поле, имеет сток и источник (оба с индексом 1), второе — два центра (оба с индексом 1), а третье — один диполь (с индексом 2). Во всех трех случаях сумма индексов равна 2 — эйлеровой характеристике сферы.

Рис. 19.8. Три векторных поля на сфере

Выше мы видели, что градиентное векторное поле на торе (рис. 19.3) имеет четыре нуля — один источник, два седла и один сток. Сумма их индексов равна 1 + 2(–1) + 1 = 0, т. е. эйлеровой характеристике тора.

В качестве дополнительного бонуса градиентные векторные поля позволяют вычислять эйлерову характеристику поверхностей, не рисуя вершин, ребер и граней. На рис. 19.9 мы видим сферу, согнутую в виде U-образного тела. Градиентное векторное поле имеет два источника, одно седло и один сток, поэтому сумма индексов равна 2(1) + 1(–1) + 1(1) = 2. Двойной тор имеет один источник, четыре седла и один сток, поэтому χ(двойной тор) = 1 + 4(–1) + 1 = –2. На бутылке Клейна один источник, два седла и один сток, поэтому χ(бутылка Клейна) = 1 + 2(–1) + 1 = 0. Подведем итог:

Если нули градиентного векторного поля на поверхности S включают только источники, седла и стоки, то χ(S) = число источников — число седел + число стоков.

Рис. 19.9. Эйлеровы характеристики сферы, двойного тора и бутылки Клейна соответственно равны 2, –2 и 0

Теорема Пуанкаре-Хопфа утверждает, что если число нулей векторного поля на поверхности конечно, то сумма их индексов равна эйлеровой характеристике. Отсюда следует, что если у векторного поля нет нулей, то эйлерова характеристика поверхности должна быть равна нулю. Поэтому любое векторное поле на поверхности с ненулевой эйлеровой характеристикой обязано иметь по крайней мере один ноль! Эйлерова характеристика сферы равна 2, следовательно, любое векторное поле на сфере должно иметь ноль. Эта знаменитая теорема, которую первым доказал Л. Э. Дж. Брауэр (1881–1966), известный друзьям как «Бертус», в 1911 году171, имеет хорошо запоминающееся название — теорема о причесывании ежа. Так она называется, потому что если рассматривать свернувшегося в клубок ежа (или теннисный мяч) как сферу с векторным полем, то невозможно причесать его так, чтобы ни одна иголка не торчала.

Теорема о причесывании ежа

Любое векторное поле на сфере имеет хотя бы один ноль.

Из этой теоремы следует утверждение, упомянутое во введении: в любой момент времени на Земле существует точка, в которой не дует ветер. Если рассматривать Землю как сферу, то направления ветров на поверхности образуют векторное поле. По теореме о причесывании ежа, существует точка, где это поле обращается в ноль. В примере на рис. 19.10 точка безветрия находится в центре циклона близ берегов Южной Америки. (На самом деле, поскольку индекс этого нуля равен 1, на другой стороне Земли должна быть еще хотя бы одна точка, в которой нет ветра!)

Рис. 19.10. Векторы направления ветра на поверхности Земли

Поскольку эйлерова характеристика тора равна нулю, теорема Пуанкаре-Хопфа не гарантирует, что любое векторное поле на нем имеет ноль. И действительно, на рис. 19.11 приведен пример не обращающегося в ноль векторного поля на торе.

Рис. 19.11. Векторное поле без нулей на торе

Теорема о причесывании ежа — пример «теоремы существования». Таких в математике много. Они одновременно очень мощные и мучительно неточные. С одной стороны, при очень простом наборе предположений (векторное поле на сфере) мы можем уверенно говорить о существовании некоторого объекта (нулевого вектора). С другой стороны, часто бывает так, что ни формулировка, ни способ доказательства теоремы существования никак не помогают найти этот объект. Мы знаем, что где-то на другой стороне земного шара (см. рис. 19.10) есть точка безветрия, но она может быть где угодно, и, более того, таких точек может быть одна или много. Это все равно, что искать засунутого куда-то плюшевого мишку, когда ребенку пора спать, — мы точно знаем, что он где-то дома, но где — под кроватью, в шкафу или в микроволновке? Хотя для нахождения таких объектов нужны дополнительные методы, часто одного лишь знания о его существовании достаточно для конкретной цели.

Теорема Пуанкаре-Хопфа названа в честь двух математиков, внесших наибольший вклад в ее доказательство, хотя были и другие.

Анри Пуанкаре родился во Франции, в городе Нанси в 1854 году в респектабельной состоятельной семье (его двоюродный брат Раймон Пуанкаре позже станет президентом Французской республики).

Рис. 19.12. Анри Пуанкаре

Математический талант Пуанкаре проявился очень рано, а один из учителей называл его «монстром математики»172. Первые математические открытия он сделал, когда ему еще не было и тридцати лет, а в Академию наук был избран в возрасте тридцати трех лет. Он был типичным математическим гением: неуклюжий, близорукий, рассеянный. Но обладал выдающимся интеллектом и способностью удерживать в мозгу и