Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

class="p">Поскольку нам известно, что поверхность Зейферта ориентируемая и имеет один край, то для ее классификации нужно знать только эйлерову характеристику. Пусть S — поверхность Зейферта, построенная из d дисков и b лент. Так как эйлерова характеристика диска равна 1 (а значит, эйлерова характеристика d непересекающихся дисков равна d), достаточно понять, как влияет добавление ленты к поверхности. Предположим, что мы прикрепляем оба конца ленты к поверхности с краем (необязательно связной). При этом добавляется одна грань, два ребра и ни одной вершины. В силу хорошо нам знакомой знакопеременной суммы, определяющей эйлерову характеристику, добавление ленты уменьшает эту величину на 1. Поэтому добавление b лент уменьшает ее на b.

Эйлерова характеристика поверхности Зейферта S, построенной из d дисков и b лент, равна χ(S) = d — b.

Для построения поверхности Зейферта трилистника (рис. 18.8) понадобилось два диска и три ленты. Поэтому ее эйлерова характеристика равна –1. Аналогично поверхность Зейферта квадратного узла состоит из трех дисков и шести лент, поэтому ее эйлерова характеристика равна –3.

Если бы мы приклеили диск к краю поверхности Зейферта, то получили бы замкнутую поверхность рода g. Это действие добавляет грань, поэтому эйлерова характеристика такой замкнутой поверхности была бы на единицу больше характеристики поверхности Зейферта. Для поверхности Зейферта трилистника, показанной на рис. 18.8, эйлерова характеристика равна 0. Это должен быть тор — поверхность рода 1. Мы говорим, что эта поверхность Зейферта имеет род 1.

Ту же логику можно применить к любой поверхности Зейферта, состоящей из d дисков и b лент. Присоединив диск к краю, мы получим замкнутую ориентируемую поверхность S с эйлеровой характеристикой x(S) = d — b + 1. Поверхность S имеет род g, и χ(S) = 2 — 2g = d — b + 1. Отсюда можно найти g.

Род поверхности Зейферта S, построенной из d дисков и b лент, равен g = (1 — d + b)/2.

Поверхность Зейферта квадратного узла имеет род g = (1–3 + 6)/2 = 2. Это тор с двумя дырками и вырезанным диском. На рис. 18.10 показаны поверхности Зейферта для печати Соломона, восьмерки и пряничного человечка. Поверхность Зейферта печати Соломона построена из двух дисков и пяти лент. Поэтому ее род равен (1–2 + 5)/2 = 2. Поверхность Зейферта восьмерки, состоящая из трех дисков и четырех лент, имеет род (1–3 + 4)/2 = 1. Поверхность Зейферта пряничного человечка, состоящая из трех дисков и шести лент, имеет род (1–3 + 6)/2 = 2.

Было бы хорошо, если бы род поверхности Зейферта был инвариантом узла. Проблема в том, что один и тот же узел может иметь несколько топологически различных поверхностей Зейферта (нужно только выбрать другую проекцию в самом начале процесса). Но необязательно отбрасывать эту идею полностью. Мы можем определить род узла как наименьший род всех его возможных поверхностей Зейферта. Обозначим g(K) так определенный род узла K.

Рис. 18.10. Поверхности Зейферта печати Соломона, восьмерки и пряничного человечка

Тривиальный узел является краем диска, т. е. сферы с вырезанным диском, поэтому его род равен 0. Это единственный узел, ограничивающий диск, поэтому для любого нетривиального узла род будет положительным числом.

Это определение вызывает чувство некоторой неудовлетворенности. Хотя род — вполне корректный инвариант узла, на практике вычислить его нелегко. Мы построили поверхность Зейферта пряничного человечка и нашли, что ее род равен 2. Но верно ли, что это также род узла? Может, так, а может, и нет. Возможно, для этого узла существует другая поверхность Зейферта с родом 1. Не ясно, как доказать, что такой поверхности Зейферта нет в природе.

Но есть и хорошая новость — мы легко можем вычислить род широкого класса так называемых альтернирующих узлов. Проведите по проекции восьмерки на рис. 18.1 пальцем и следите за поведением в точках пересечения. Веревка проходит выше, ниже, выше, ниже, выше, ниже, выше и ниже — взаимное расположение в точках пересечения чередуется. Такая проекция называется альтернирующей. Проекции трилистника, печати Соломона и пряничного человечка также альтернирующие, а проекция квадратного узла — нет. Узел называется альтернирующим, если он имеет хотя бы одну альтернирующую проекцию. Данная проекция квадратного узла неальтернирующая, но это не значит, что сам узел не альтернирующий, потому что у него может существовать другая, альтернирующая проекция.

Все простейшие узлы альтернирующие. Любой узел с семью или меньшим числом пересечений альтернирующий, и лишь три узла с 8 пересечениями таковыми не являются (один из них показан на рис. 18.11). Однако с увеличением количества пересечений относительная доля альтернирующих узлов падает. Из 2404 простых узлов (что такое простой узел, мы определим чуть ниже) с 12 или меньшим числом пересечений только 63 % альтернирующие. Из примерно 1,7 млн простых узлов с 16 или меньшим числом пересечений только 29 % альтернирующие166.

Рис. 18.11. Неальтернирующий узел с 8 пересечениями

Спасает нас теорема, доказанная в конце 1950-х годов Ричардом Г. Кроуэллом и Кунио Мурасуги167.

Гарантируется, что поверхность Зейферта S, построенная по альтернирующей проекции, имеет минимальный род.

Иными словами, поскольку трилистник, восьмерка, печать Соломона и пряничный человечек — альтернирующие узлы, можно с уверенностью сказать, что их род равен соответственно 1, 1, 2 и 2. Итак, ни один из этих четырех узлов не является тривиальным, а трилистник и восьмерка отличаются от печати Соломона и пряничного человечка. Сейчас читатель наверняка сможет доказать, что два узла, приведенных во введении (рис. I.5), различны.

Теперь мы немного отвлечемся и определим род квадратного узла. Простые числа являются кирпичиками, из которых построены все положительные целые числа. Число p > 1 называется простым, если его единственными делителями являются оно само и 1, в противном случае число называется составным. Аналогично мы определим простые узлы — кирпичики, из которых состоят все узлы. Для этого нам понадобится способ «умножения» узлов.

Пусть даны узлы K и L, тогда их произведение, обозначаемое K#L, строится следующим образом. Поместим проекции K и L рядом друг с другом (но так, чтобы они не пересекались). Разрежем внешние пряди обоих узлов и соединим все четыре конца, не создавая новых пересечений. На рис. 18.12 мы видим, что квадратный узел является произведением трилистника и его зеркального изображения (произведение двух трилистников называется бабушкиным узлом).

Узел M называется простым, если из того, что M = K#L, следует, что K или L — тривиальный узел[10]. Иными словами, узел простой, если его нельзя записать в виде произведения двух нетривиальных узлов. Нетривиальный узел, не являющийся простым, называется