Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Однако на переднем крае математики просто мнение стоит немного. Интуиция зачастую очень помогает ученым, но известно немало случаев, когда это замечательное чувство ошибалось. Житейский здравый смысл может лгать, оставаясь при этом и общепризнанным, и здравым. Литтлвуд, один из лучших знатоков комплексного анализа, выразился вполне однозначно: в 1962 г. он сказал, что уверен в ошибочности гипотезы Римана, и добавил, что нет никаких мыслимых причин, по которым она была бы верна. Кто прав? Поживем, увидим.

Анри Пуанкаре был одним из величайших математиков конца XIX в., слегка эксцентричным, но исключительно прозорливым ученым. Он был членом французского Бюро долгот — организации, созданной для решения астрономических задач для целей навигации, слежения за временем и измерения Земли и других планет. Членство в ней привело Пуанкаре к мысли об установлении международной системы временны`х зон. Кроме того, оно вдохновило ученого на размышления о времени и, в частности, на предвосхищение некоторых открытий Эйнштейна в области теории относительности. Вклад Пуанкаре виден в математике всюду, от теории чисел до математической физики. В частности, он был одним из основателей топологии, математики непрерывных преобразований.

В 1904 г. Пуанкаре наткнулся на простой, казалось бы, вопрос и вдруг понял, что ответ на него, который он прежде использовал в работе как нечто очевидное, доказать не в состоянии. «Этот вопрос увел бы нас далеко в сторону», — написал он, погрешив против истины: на самом деле, этот вопрос упрямо отказывался вести его куда бы то ни было. Хотя сам Пуанкаре сформулировал задачу в виде вопроса, известность она приобрела как гипотеза Пуанкаре — все были уверены в том, что ответом на вопрос должно быть «да». Это еще одна из семи «проблем тысячелетия» по версии Института Клэя, что вполне справедливо, поскольку несложная на вид задача оказалась одной из самых сложных во всей топологии. Ответ на вопрос Пуанкаре дал в 2002 г. молодой русский математик Григорий Перельман. Его решение привнесло в науку массу новых идей и методов — так много, что математическому сообществу потребовалось несколько лет, чтобы «переварить» представленное доказательство и признать его верным.

За свое достижение Перельман был удостоен самой престижной в математике Филдсовской премии, но отказался от нее. Он избегает всякой публичности. Ему предложили миллион долларов — премию Института Клэя, — но и ее Перельман не принял. Деньги ему тоже не нужны. Он хотел лишь, чтобы его труд был принят математическим сообществом. Со временем так и произошло, но, к несчастью, процесс занял немало времени. Да и вообще, наивно было ожидать признания без публичности и премий. Но склонная к затворничеству натура Перельмана не смогла принять эти неизбежные следствия успеха.

Мы уже встречались с топологией в связи с теоремой о четырех красках, и я прибегал тогда к расхожему сравнению: «геометрия на резиновом листе». Евклидова геометрия имеет дело с прямыми линиями, окружностями, длинами и углами. Она разворачивается на плоскости или в пространстве трех измерений, где становится более сложной. Плоскость похожа на бесконечный лист бумаги, и у нее с бумагой есть одна общая черта: она не растягивается, не сжимается и не сгибается. Бумагу можно скатать в трубочку, и она может слегка съежиться или растянуться — особенно если пролить на нее кофе. Но невозможно обернуть бумагой шар так, чтобы на листе не образовалось складок. Математически евклидова плоскость — штука жесткая. В геометрии Евклида две фигуры — два треугольника, квадрата или круга — равны, если один из них получен из другого посредством жесткого перемещения. А «жесткость» перемещения означает, что расстояния при этом не меняются.

Но что если использовать вместо бумаги эластичный резиновый лист? Он, в отличие от бумаги, растягивается и сгибается, при некотором желании его можно даже сжать. Длины и углы на эластичном листе не имеют фиксированных значений. Более того, если лист достаточно эластичен, треугольников, квадратов и кругов на нем тоже нет. Можно деформировать треугольник на резиновом листе так, что у него появится дополнительный угол. Можно даже превратить его в круг (см. рис. 36). Какими бы понятиями ни оперировала геометрия на резиновом листе, ясно, что традиционным евклидовым концепциям в ней места нет.

Может показаться, что «геометрия на резиновом листе» будет настолько гибкой, что в ней вообще не найдется места для сколько-нибудь постоянных смыслов, а значит, и доказать ничего невозможно. Но это не так. Нарисуйте, к примеру, треугольник и поставьте внутри него точку. Если вы начнете растягивать и деформировать лист, превращая треугольник в круг, то одно свойство вашего чертежа все же сохранится: точка останется внутри. Согласен, теперь она находится внутри круга, а не треугольника, но это не важно: она же все равно не снаружи. Чтобы переместить точку наружу, вам придется разорвать лист, а это будет означать нарушение правил игры.

И еще одно свойство не изменяется при искажении. Треугольник — это простая замкнутая кривая. Это линия, замкнутая сама на себя, без свободных концов и самопересечений. Восьмерка — тоже замкнутая кривая, но уже не простая — у нее есть самопересечение. При деформировании резинового листа треугольник может изменить форму, но обязательно останется простой замкнутой кривой. Невозможно, к примеру, превратить его в восьмерку, не разорвав листа.

В трехмерной топологии все пространство становится эластичным. Не так, как куб из резины, который, если снять давление, возвращается к первоначальной форме, а как гель, форму которого можно менять без всякого сопротивления. Топологическое пространство бесконечно эластично: можно взять участок размером с рисовое зернышко и раздуть его до размеров Солнца. Можно тянуть из него щупальца, пока он не начнет напоминать формой осьминога. Единственное, чего делать не разрешается, — это каким бы то ни было образом нарушать непрерывность. Не следует допускать разрывов пространства и вообще проделывать любые операции, способные разделить соседние точки.

Какие свойства пространственных фигур сохраняются при всех непрерывных деформациях? Не длина, не площадь, не объем… А вот заузленность сохраняется. Если завязать кривую узлом и соединить концы, создав замкнутую петлю, то узел уже никуда не денется. Как бы вы ни деформировали пространство, кривая останется завязанной. Таким образом, мы имеем дело с геометрией нового типа, где важные и осмысленные концепции кажутся, на первый взгляд, несколько расплывчатыми: «внутри», «замкнутый», «простой», «завязанный». Называется эта новая геометрия весьма респектабельно: топологией. Нематематику она может показаться странной или даже абсурдной, но на поверку это одна из основных областей математики ХХ в., и свое значение она сохраняет и в XXI в. А Пуанкаре — один из тех, кого мы в первую очередь должны за это благодарить.

История топологии началась почти за столетие до Пуанкаре — в 1813 г. Симон Люилье, швейцарский математик, при жизни не снискал громкой славы, но отверг крупную сумму денег, которую кто-то из его родственников предлагал ему за принятие церковного сана. Люилье предпочел карьеру в математике. Работал он в основном в тихой математической заводи: занимался теоремой Эйлера о многогранниках. В главе 4 мы упоминали один занятный и вроде бы ни с чем не связанный факт: если у многогранника F граней, V вершин и E ребер, то F — E + V = 2. Люилье большую часть жизни исследовал варианты этой формулы, и с высоты сегодняшнего дня ясно, что он сделал важнейший шаг в направлении топологии, когда обнаружил, что формула Эйлера не всегда верна. Ее применимость зависит от качественных характеристик многогранника.