Математика для любознательных (сборник) - Яков Перельман

Как ни мелок кажется нам микрон, он все же оказывается чрезмерно крупен для расстояний, которые приходится измерять современному физику. Мельчайшие, недоступные даже микроскопу частицы, молекулы, из которых состоит вещество всех тел природы, и слагающие их еще более мелкие атомы имеют размеры от одной 10000-й до одной 1000-й доли микрона. Если остановиться на последней, наибольшей величине, то и тогда окажется, что миллион таких крупинок (а мы уже знаем, как велик миллион), будучи расположен на одной прямой, вплотную друг к другу, занял бы всего лишь один миллиметр!

Чтобы представить себе наглядно чрезвычайную малость атомов, обратимся к такой картине. Вообразите, что все предметы на земном шаре увеличились в миллион раз. Эйфелева башня (300 м высоты) уходила бы тогда своей верхушкой на 300000 км в мировое пространство и находилась бы в недалеком соседстве от орбиты Луны. Люди были бы высотой с большую гору - в 1 1/2 км; один шаг такого человека-гиганта унес бы его на 600-700 км. Мельчайшие красные тельца, миллиардами плавающие в его крови, имели бы каждый более 7 м в поперечнике. Волос имел бы 100 м в толщину. Мышь достигала бы 100 км в длину, муха - 8 км. Каких же размеров будет при таком чудовищном увеличении атом вещества?

Положительно не верится: его размеры предстанут перед вами в виде… типографской точки шрифта этой книги!

Достигаем ли мы здесь крайних пределов пространственной малости, за которые не приходится переступать даже физику с его изощренными приемами измерений? Еще не особенно давно думали так; но теперь известно, что атом - целый мир, состоящий из гораздо более мелких частей и являющийся ареною действия могущественных сил. Атом, например, водорода состоит из центрального «ядра» и быстро обращающегося вокруг него «электрона». Не входя в другие подробности, расскажем только о размерах этих составных частей атома. Поперечник электрона измеряется биллионными долями миллиметра, а ядра - тысячебиллионными долями. Другими словами, поперечник электрона почти в миллион раз, а ядро - в миллиард раз меньше поперечника атома. Если вы пожелаете сравнить размеры электрона с размерами пылинки, то расчет покажет вам, что электрон меньше пылинки примерно во столько же раз, во сколько раз пылинка меньше - чего бы вы думали? Земного шара!

Вы видите, что атом, - лилипут среди лилипутов, - является в то же время настоящим исполином по сравнению с электроном, входящим в его состав - таким же исполином, каким вся солнечная система является по отношению к земному шару.

Можно составить следующую поучительную лестницу, в которой каждая ступень является исполином по отношению к предыдущей ступени и лилипутом по отношению к последующей:

электрон

атом

пылинка

дом

земной шар

солнечная система

расстояние до Полярной звезды.

Каждый член этого ряда примерно в четверть миллиона раз[93] больше предыдущего и во столько же раз меньше последующего. Ничто не доказывает так красноречиво всю относительность понятий «большой» и «малый», как эта табличка. В природе нет безусловно большого или безусловно малого предмета. Каждая вещь может быть названа и подавляюще огромной и исчезающе малой в зависимости от того, как на нее взглянуть, с чем ее сравнить. «Время и пространство, - закончим мы словами одного английского физика[94], - понятия чисто относительные. Если бы сегодня в полночь все предметы - в том числе и мы сами и наши измерительные приборы, - уменьшились в 1000 раз, мы совершенно не заметили бы этого изменения. Не было бы никакого указания на то, что произошло такое уменьшение. Точно так же, если бы все события и все часы получили ускорение хода в одинаковом отношении, то мы равным образом ничего не подозревали бы об этой перемене».

Наши беседы о великанах и карликах из мира чисел были бы не полны, если бы мы не рассказали читателю об одной изумительной диковинке этого рода, - диковинке, правда, не новой, но стуящей дюжины новинок. Чтобы подойти к ней, начнем со следующей, на вид весьма незамысловатой задачи:

Задача № 63

Какое самое большое число можно написать тремя цифрами, не употребляя никаких знаков действий?

Решение

Хочется ответить: 999, - но, вероятно, вы уже подозреваете, что ответ другой, иначе задача была бы чересчур проста. И действительно, правильный ответ пишется так:

Выражение это означает: «девять в степени девять в девятой степени». Другими словами: нужно составить произведение из стольких девяток, сколько единиц в результате умножения:

9х9х9х9х9х9х9х9х9.

Достаточно только начать вычисление, чтобы ощутить огромность предстоящего результата. Если у вас хватит терпения выполнить перемножение девяти девяток, вы получите число:

387420489.

Главная работа только начинается: теперь нужно найти

т. е. произведение 387420489 девяток. Придется сделать круглым счетом 400 миллионов умножений…

У вас, конечно, не будет времени довести до конца подобное вычисление. Но я лишен возможности сообщить вам готовый результат - по трем причинам, которые нельзя не признать уважительными. Во-первых, число это никогда и никем еще не было вычислено (известен только приближенный результат). Во-вторых, если бы даже оно и было вычислено, то, чтобы напечатать его, понадобилось бы не менее тысячи таких книг, как эта, потому что число наше состоит из 369 693 100 цифр; набранное обыкновенным шрифтом, оно имело бы в длину 1000 км… Наконец, если бы меня снабдили достаточным количеством бумаги и чернил, я и тогда не мог бы удовлетворить вашего любопытства. Вы легко можете сообразить почему: если я способен писать, скажем, без перерыва по две цифры в секунду, то в час я напишу 7200 цифр, а в сутки, работая непрерывно день и ночь, - не более 172800 цифр. Отсюда следует, что не отрываясь ни на секунду от пера, трудясь круглые сутки изо дня в день без отдыха, я просидел бы за работой не менее 7 лет, прежде чем написал бы это число…

Могу сообщить вам об этом числе только следующее: оно начинается цифрами 428124773175747048036987118 и кончается 89. Что находится между этим началом и концом - неизвестно. А ведь там 369693071 цифра!…

Вы видите, что уже число цифр нашего результата невообразимо огромно. Как же велико само число, выражаемое этим длиннейшим рядом цифр? Трудно дать хотя бы приблизительное представление о его громадности, потому что такого множества отдельных вещей, считая даже каждый электрон за отдельную вещь - нет в целой вселенной!