Вся физика в 15 уравнениях - Бруно Мансулье

m и m' притягиваются друг к другу, и величина силы притяжения пропорциональна массам тел, что звучит логично, и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Проще говоря, это означает, что если мы увеличим расстояние между телами в два раза, сила притяжения между ними уменьшится в четыре раза.

Сила этого простого закона позволила с высокой точностью рассчитать движение Луны, планет, комет и т. д. и обеспечила ему совершенное подтверждение экспериментальными наблюдениями (по крайней мере, до недавнего времени).

Нелюбимое уравнение

Как ни странно, мне никогда по-настоящему не нравилось это уравнение. Как ученый я не могу отрицать того огромного прогресса в науке, что был связан с открытием закона всемирного тяготения. Конечно же, я восхищаюсь огромной силой ума, который сформулировал данный закон. Но, однако, его универсальность никогда особо меня не привлекала, и я совершенно не знаю, почему.

Если бы я был самонадеянным, то мог бы сказать, что интуиция подсказывает — такое действие на расстоянии выглядит несколько подозрительно. В соответствии с упомянутым законом Солнце, например, притягивает Землю. Величина этой силы притяжения постоянна во времени, так как орбита Земли почти что круглая и расстояние до Солнца практически не изменяется. Но, согласно закону тяготения, если бы я удалил Солнце, его влияние на Землю исчезло бы мгновенно. И это странно. Как какое-либо силовое воздействие может быть мгновенным при таком расстоянии между телами?

Однако, несмотря на свое упорство, я должен оставаться в тени: очевидно, я переосмысливаю свои ощущения того времени, используя сегодняшнее послезнание. В частности, с тех пор я неплохо изучил теорию относительности Эйнштейна, которая запрещает мгновенное действие на расстоянии: никакая частица, сила или информация не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света.

Слишком просто для закона?

Другой момент, который я нахожу немного разочаровывающим в данном законе, — это обратно квадратичная зависимость силы F от расстояния между телами d. Если не задумываться глубоко, то наивному поверхностному взгляду зависимость вида 1/d2 кажется замечательной, как будто она раскрывает прекрасную и фундаментальную истину. Но в действительности это лишь самая тривиальная форма зависимости силового воздействия, оказываемого объектом на другие удаленные объекты, от расстояния.

И вот почему. На достаточно большом расстоянии любой действующий объект может рассматриваться как точечный. Представим себе сферу радиуса d с центром на объекте. Площадь поверхности сферы: S = 4πd2. Таким образом, если мы увеличим радиус сферы в два раза, ее площадь увеличится в четыре раза. Это как раз дает обратно квадратичную зависимость силы от расстояния. Тот факт, что сила притяжения, действующая на объект на расстоянии d, уменьшается, просто означает, что влияние объекта равномерно распределяется в пространстве. Интуитивно ясно, что на бóльшем расстоянии влияние слабее. Оно ослабевает потому, что количество точек на большой поверхности возрастает, как количество точек на поверхности сферы бóльшего радиуса. Короче говоря, зависимость вида 1/d2 является наиболее тривиальной формой зависимости силы от расстояния, которую можно представить для точечных объектов. Действительно, абсолютно аналогичный закон описывает силу между двумя электрическими зарядами:

Этот закон был открыт Шарлем Августином де Кулоном намного позднее закона всемирного тяготения, в 1785 г., и назван в его же честь законом Кулона.

Закон… скрывающий невежество?

Несмотря на точность и огромный успех, законы Ньютона и Кулона в первую очередь выражают… невежество! Я не знаю, что такое масса или электрический заряд. У меня нет ни одной толковой идеи ни об их происхождении, ни о внутреннем механизме их действия. Но я могу собрать влияние гравитации объекта в одну величину: его массу. Форма этого влияния наиболее просто выражается как функция расстояния. Аналогичным образом мы поступаем в случае электрического заряда и электрических сил.

Со временем теория относительности наделила гравитацию более амбициозной ролью. Масса, энергия и форма пространства-времени были объединены друг с другом в рамках одной непротиворечивой системы. Теория относительности Эйнштейна перешагнула ограничения «простого» принципа объединения гравитационных свойств тела в единственный параметр массы. Как мы увидим позднее, из нового понимания тяготения как свойства пространства-времени возникли совершенно новые неожиданные объекты, именуемые «черными дырами».

E pur, si muove[6]!

Поскольку все это я осознал спустя довольно длительное время, после того как впервые встретился с законом тяготения Ньютона, было бы нечестным притворяться, что этот закон мне никогда не нравился из-за не по годам развитой интуиции. Тогда почему? Возможно, потому, что когда закон тяготения преподают в школе, его уравнение оказывается просто бесполезным, так как школьники практически не в состоянии использовать его! Я имею в виду действительно использование с теми самыми целями, для которых он был применен Ньютоном и его последователями: предсказывать движение планет, хотя бы нашей старой доброй Земли.

Проблема выглядит простой. Нам доступны два инструмента: с одной стороны, второй закон Ньютона F = ma, с другой — закон обратных квадратов для силы, действующей между планетой и Солнцем. Гравитационная сила, с которой Солнце и Земля притягиваются друг к другу, равна:

Именно эта сила и влияет на планеты, заставляя их совершать круговое равноускоренное движение в соответствии со вторым законом Ньютона. Движение Земли в системе, состоящей только из Солнца и Земли, подчиняется уравнению:

Здесь y — ускорение Земли с учетом его направления, а d — расстояние от Земли до Солнца. Решение этого уравнения позволяет определить параметры движения Земли, форму ее орбиты и скорость в каждый момент времени, интервалы времени, когда Земля приближается или отдаляется от Солнца.

Все это, конечно, замечательно. Вот только решение данного уравнения отнюдь не так просто и требует более сложных математических инструментов, чем те, которые преподаются в старших классах школы. Поэтому в школе применение закона тяготения ограничивается упражнениями без особого практического смысла, например вычислением силы между двумя неподвижными объектами. Если предположить приближенно, что планеты движутся по круговым орбитам, решение может быть получено с помощью элементарной математики. Однако хорошо известно, что в действительности орбиты планет являются эллипсами, и, более того, в приближении круговых орбит вся сила закона пропадает впустую. Тогда уж проще предположить, что Земля связана с Солнцем веревочкой, и мы получим такое же круговое движение. Только позже, уже в университете, я узнал правильное решение такого простого на первый взгляд уравнения движения, позволяющее понять эллиптические траектории планет и комет. Как оказалось, и это знание не улучшило моего отношения к закону тяготения.

Космический хаос

Решение задачи о математическом описании движения