Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Математики начали проявлять интерес к четвертому пространственному измерению в первой половине XIX века, после работ немецкого ученого Августа Фердинанда Мёбиуса. В первую очередь его помнят как изобретателя объекта, позже названного в его честь, – ленты Мёбиуса – и как пионера топологии. Он же первым пришел к выводу, что в четвертом измерении трехмерный объект можно повернуть так, чтобы получить его зеркальное изображение. Во второй половине XIX века среди математиков, изучавших новую область – многомерную геометрию, – выделялись трое ученых: швейцарец Людвиг Шлефли, англичанин Артур Кэли и немец Бернхард Риман.

Свой главный труд Theorie der Vielfachen Kontinuität (“Теория многократной континуальности”) Шлефли начал со слов: “Настоящий трактат… это попытка обосновать и выработать новую ветвь анализа, которая, как бы являясь аналитической геометрией n измерений, содержит таковую для плоскости и пространства в качестве частных случаев для n = 2, 3”[6]. Далее он описал многомерные аналоги многоугольников и многогранников, назвав их “полисхемами”. Сейчас для них используют термин “политопы”[7], придуманный немецким математиком Рейнгольдом Хоппе и введенный в английский язык Алисией Буль Стотт, дочерью английского математика и логика, автора булевой алгебры Джорджа Буля и Мэри Эверест Буль, математика-самоучки и автора книг о математике.

Также Шлефли принадлежит заслуга открытия многомерных аналогов платоновых тел. Под платоновым телом понимают выпуклый многогранник (то есть все углы у него направлены наружу), каждая из граней которого – правильный многоугольник, а в каждом из углов сходится одинаковое количество граней. Всего таких тел пять: куб, тетраэдр, октаэдр, (12-гранный) додекаэдр и (20-гранный) икосаэдр. Четырехмерные эквиваленты платоновых тел – это выпуклые правильные четырехмерные политопы. Всего Шлефли открыл шесть таких четырехмерных политопов и дал им названия по количеству составляющих их ячеек. Простейший, пятиячейник, состоит из 5 тетраэдрических ячеек, 10 треугольных граней, 10 ребер и 5 вершин и является аналогом тетраэдра. Кроме него есть восьмиячейник, или тессеракт, и “двойственный” ему шестнадцатиячейник, который получается, если заменить ячейки тессеракта вершинами, грани ребрами, а ребра гранями. Шестнадцатиячейник имеет 16 тетраэдрических ячеек, 32 треугольные грани, 24 ребра и 8 вершин и представляет собой четырехмерный аналог октаэдра. Еще два четырехмерных политопа – стодвадцатиячейник, аналог додекаэдра, и шестисотячейник, аналог икосаэдра. И наконец, есть двадцатичетырехячейник с 24 октаэдрическими ячейками, у которого нет аналога в трехмерном пространстве. Любопытно, что, как установил Шлефли, количество выпуклых правильных политопов во всех более высоких измерениях одинаково – в каждом по три.

Благодаря работам Кэли, Римана и других ученых, математики научились выполнять сложные алгебраические вычисления для четырехмерного пространства и создали новые, многомерные геометрии, выходившие за рамки правил, установленных Евклидом. Но вот что им все равно никак не удалось, так это начать видеть в четырех измерениях. А возможно ли это вообще? Этот вопрос не давал покоя британскому математику, преподавателю и автору научно-фантастических романов Чарльзу Говарду Хинтону. Ему не было и тридцати, когда он начал преподавать в частных английских школах: сначала в Челтнемском колледже (графство Глостершир), а потом в Школе Аппингем (графство Ратленд), где его коллегой (и главным тамошним преподавателем математики) был Говард Кэндлер, друг Эдвина Эбботта. Именно тогда, в 1884 году, Эбботт опубликовал свой ставший теперь классическим сатирический роман “Флатландия: роман о четвертом измерении”[8]. А четырьмя годами раньше Хинтон написал свою статью об альтернативных пространствах под названием “Что такое четвертое измерение?”, в которой выдвинул идею, что частицы, движущиеся в трехмерном пространстве, могут быть представлены как последовательные поперечные сечения прямых и кривых линий, существующих в четвертом измерении. Возможно, и мы сами в реальности – четырехмерные существа, “наши же последовательные состояния… соответствуют… прохождению их через трехмерное пространство, которым ограничено наше сознание”[9]. Об отношениях между Эбботтом и Хинтоном известно немного, но о работе друг друга они точно знали (и упоминали это в своих трудах) и какой-то контакт между ними был, пусть даже опосредованный – через общего друга и коллегу. Кэндлер наверняка обсуждал с Эбботтом молодого преподавателя из Аппингема, так открыто говорившего и писавшего об иных измерениях.

Обложка первого издания “Флатландии” Эдвина Эбботта.

Хинтон был, мягко говоря, чужд условностям. В то время, когда он преподавал в Англии, он женился на Мэри Эллен Буль, дочери вышеупомянутых Мэри Эверест Буль (а она сама была племянницей Джорджа Эвереста, в честь которого названа высочайшая гора мира) и Джорджа Буля. К сожалению, через три года после заключения брака он тайно обвенчался с другой женщиной, Мод Флоренс. С ней он познакомился, когда работал в Челтнемском колледже, она родила ему двойню. Не исключено, что на поведение Чарльза повлияли взгляды его отца, хирурга Джеймса Хилтона, который возглавлял секту, практикующую полигамию и свободную любовь. Так или иначе, Хинтона судили в Олд-Бейли[10] и признали виновным в двоеженстве. Несколько дней ему пришлось провести в тюрьме. После этого он несколько лет учительствовал в Японии, куда бежал вместе с (первой) семьей, а позже переехал в США, где получил место преподавателя математики в Принстонском университете. Там в 1897 году он сконструировал пушку, которая с помощью пороховых зарядов выстреливала бейсбольные мячи со скоростью от 40 до 70 миль в час. Газета The New York Times в выпуске от 12 марта того года описывала устройство как “тяжелое орудие со стволом длиной около двух с половиной футов, имеющее в задней части ствола приспособление для присоединения ружья”. Главным достоинством пушки была возможность подачи крученых мячей, которая достигалась посредством “двух изогнутых стержней, вставлявшихся в ствол”. Несколько сезонов команда университета периодически пользовалась пушкой для тренировок, но в конце концов ее сочли слишком опасной. Неясно, стали ли причиненные орудием травмы одной из причин увольнения Хинтона из Принстона. Если так, это не помешало ему вернуться к своему изобретению в Миннесотском университете, где он недолго преподавал в 1900 году, до того как получил должность в Военно-морской обсерватории США в Вашингтоне.