Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Другой способ решить наш пример (особенно если одно из наших чисел заканчивается на 7, 8 или 9) – использовать метод вычитания. Начать следует с того, что 38 = 40 – 2, а значит,

Сложность обоих методов – как сложения, так и вычитания – заключается в том, что они заставляют вас постоянно держать в голове большие числа (вроде 1140 или 1280), одновременно делая другие вычисления. Не самая простая задача. Мне больше по душе метод разложения на сомножители, особенно полезный всякий раз, когда одно из имеющихся у нас чисел является произведением двух однозначных чисел. В нашем примере это 32 – произведение 8 и 4. Следовательно,

Если же мы разложим 32 на 4 и 8, получим 38 × 4 × 8 = 152 × 8 = 1216, но я лично предпочитаю умножать двузначное число сначала на больший сомножитель, а промежуточный результат (обычно трехзначный) – на меньший.

Другой интересный метод – метод сближения. Его можно использовать, когда двузначные числа, которые вы перемножаете, начинаются с одной и той же цифры. Неискушенному наблюдателю он может показаться настоящим фокусом. Ведь разве можно просто взять и поверить, что

Вычисления становятся элементарными, если последние цифры двух чисел дают в сумме 10 (как в нашем примере: оба числа начинаются с 3, а сумма их последних цифр – 8 и 2 – равна 10). Вот еще один пример:

Но даже если вторые цифры не дадут в сумме 10, метод от этого не станет менее эффективным и эффектным, да и вычисления усложнятся не так уж и сильно. Чтобы умножить, например, 41 на 44, сначала надо уменьшить меньшее из них на единицу (чтобы работать с круглым числом 40) и, соответственно, увеличить на ту же единицу большее число:

Для 34 × 37 отнимаем 4 у 34 (и остается 30) и отдаем их 37 (37 + 4 = 41), а потом прибавляем 4 × 7:

Кстати, помните загадочный пример с 104 × 109? Там использовался тот же самый метод:

В некоторых школах, кстати, учеников заставляют учить не привычную таблицу умножения, которая заканчивается 10, но расширенную до 20. Наш метод сводит эту необходимость на нет:

Как же так получается, что эта штука работает, спросите вы? Чтобы разобраться, нужно обратиться к алгебре – этим мы займемся в главе 2. А алгебра даст нам еще больше способов счета. Например, ту же задачу можно будет решить еще и вот так:

Кстати, о таблице умножения: взгляните на столбцы и ряды однозначных чисел чуть ниже (я же обещал вам это показать, помните?). Перед нами встанет тот же вопрос, который встал перед юным Гауссом: чему будет равняться сумма всех чисел таблицы умножения? Не торопитесь, подумайте: вдруг у вас получится найти ответ каким-нибудь волшебным, потрясающим воображение способом? Ну а свой способ я предложу вам в конце главы.

Давайте начнем с очень простого вопроса, на который существует очень простой ответ, которому по какой-то неизвестной причине не учат в школах:

а) если вам нужно перемножить два трехзначных числа, сможете ли вы сразу сказать, из скольки знаков будет состоять результат?

И чуть посложнее:

б) число из скольки знаков получится, если умножить четырехзначное число на пятизначное?

В школе почти все время уходит на то, чтобы подбирать цифры при умножении и делении, а не на то, чтобы подумать о том, насколько большим будет результат. Да-да, умение примерно оценивать, насколько большим будет ответ, куда важнее умения находить его последние или даже первые цифры. (Подумайте сами, какой практический прок от знания того, что итог начинается с цифры 3, и не полезнее ли знать, к чему он будет ближе: к 30 или 300 000 или вовсе к 3 000 000?)

Ответ на вопрос (а) – из пяти или шести цифр. Знаете почему? Минимальный возможный пример – 100 × 100 = 10 000 (здесь пять цифр). Максимальный – 999 × 999, результат которого однозначно будет меньше семизначного 1000 × 1000 = 1 000 000 (пусть и ненамного). Но раз 999 × 999 меньше, значит, в ответе будет шесть цифр (давайте, кстати, вспомним, насколько легко это посчитать: 9992 = (1000 × 998) + 12 = 998 001.) Вот и вывод: результатом перемножения двух трехзначных чисел будет пяти– или шестизначное число.

Ответ на вопрос (б) – из восьми или девяти цифр. Почему? Наименьшее четырехзначное число – 1000, которое можно представить в виде 10³ (единица с тремя нолями). Наименьшее пятизначное число – 10 000, равное 104. Следовательно, наименьшим произведением 10³ и 104 будет 107 – единица с семью нолями, восьмизначное число. (Откуда взялось 107? Смотрите: 10³ × 104 = (10 × 10 × 10) × (10 × 10 × 10 × 10) = 107.) Ну а наименьшим произведением будет число, лишь ненамного меньшее десятизначного 104 × 105 = 109, то есть девятизначное.

Такая логика приводит нас к простому правилу: умножение m-значного числа на n-значное даст число, в котором m + n или m + n – 1 знаков.