Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Шаг второй предлагает нам удвоить загаданное число, то есть мы, по сути, имеем 2N (знак умножения в алгебре принято опускать, в том числе и потому, что очень часто для обозначения переменной используется внешне похожая на него буква x). После третьего шага ваше число выглядит как 2N + 10. Четвертая операция предлагает нам упростить пример, разделив все его части на 2: N + 5. И, наконец, мы вычитаем загаданное число (то есть N): N + 5 – N = 5. Давайте соберем весь фокус в одну таблицу:

Начнем с загадки. Найдите число, которое становится в три раза больше, если к нему прибавить 5.

Чтобы ее решить, заменим неизвестное нам число буквой х. Добавление пятерки дает нам х + 5, утроение – 3х. Мы хотим, чтобы эти две записи были равными, поэтому нам придется решать уравнение

Уберем по одному х из обеих его частей и получим

(смотрите, откуда берется 2x: 3x – x – то же, что и 3x – 1x, то есть 2x). Разделим обе части уравнения на 2:

Можем проверить правильность ответа: 2,5 + 5 = 7,5, Тот же ответ получаем, умножая 2,5 на 3.

Этот пример отлично иллюстрирует то, что я называю золотым правилом алгебры: совершайте с одной частью уравнения те же действия, что и с другой его частью.

Например, нам нужно найти x в уравнении

Наша основная задача – изолировать х, и первый шаг на пути к этому – разделить обе части на 3, чтобы упростить решение:

Второй шаг – избавиться от 10, которую надо вычесть и слева и справа, то есть

Наконец делим все на 2, упрощая тем самым левую часть, в итоге получая

Ну и проверим ответ, конечно – это никогда не помешает: При x = 10 3(2x + 10) = 3(30) = 90, что верно. Интересно, есть ли у этого уравнения другое решение? Ответ – нет, потому что любое значение х должно удовлетворять не только этому, но и любому последующему уравнению, так что x = 10 – единственный верный ответ.

А вот алгебраическая задачка из реальной жизни: в 2014 г. газета New Tork Times рассказала читателям, что фильм «Интервью» (The Interview) компании «Сони Пикчерз» в первые четыре дня после релиза собрал в Интернете $15 млн. Но компания не уточнила, сколько из этой суммы принесли покупки фильма в Сети ($15), а сколько – платные просмотры ($6); зато мы знаем, что всего было совершено около 2 млн транзакций. Чтобы эту задачку решить, обозначим количество онлайн-продаж буквой S, количество платных просмотров – буквой R. Составим уравнение

А так как каждая транзакция по продаже – это $15 прибыли, а по просмотру – $6, уравнение преобразуется:

Возможность привести первое уравнение к виду R = 2 000 000 – S позволяет нам преобразовать и второе уравнение:

или 15S + 12 000 000 – 6S = 15 000 000, в котором у нас из неизвестных остается только S. Продолжаем упрощать:

Вычтем из обеих частей 12 000 000:

Значит, S примерно равняется трети миллиона: S ≈ 333 333, а R = 2 000 000 – S ≈ 1 666 667 (проверим: общий доход составил $15 × 333 333 + $6 × 1 666 667 ≈ $15 000 000).

Теперь самое время обсудить правило, которым мы в этой книге уже использовали и продолжим использовать, хотя до этого напрямую о нем не говорили. Называется оно «закон дистрибутивности» и работает тогда, когда у вас в одной задаче или одном уравнении есть одновременно сложение и умножение. Согласно этому закону, для любых чисел a, b и с верно следующее: