Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Мы также можем воспользоваться компьютерным моделированием, чтобы создать изображение, показывающее, к какому из трех магнитов притянется маятник. Магниты находятся в центре больших областей соответствующего цвета, каждая из которых имеет форму вазы. Если маятник начнет движение, находясь над черной областью, он в конечном счете остановится у черного магнита. Аналогично, при начальном положении над серой или белой областью маятник прекратит движение у серого или белого магнита соответственно. На изображении видны области, в которых небольшое изменение начального положения маятника не повлияет существенно на результат. Так, если маятник начнет свое движение у черного магнита, он скорее всего и завершит там свое путешествие. Но также заметны другие области, в которых цвета быстро меняются на небольших расстояниях.

Рис. 5.07. Компьютерное моделирование, иллюстрирующее поведение маятника, движущегося над тремя магнитами

Это пример той формы, которая столь возлюблена природой, – фрактала. Фракталы отображают геометрию хаоса, и если вы рассмотрите какую-то из этих областей с бо́льшим увеличением, то увидите тот же уровень сложности (с чем мы уже встречались на с. 90). Именно эта сложность делает движение маятника столь труднопредсказуемым, хотя описывающие его уравнения довольно просты.

А как быть, если на кону не конечное положение раскачивающегося маятника, а будущее Солнечной системы? Возможно, небольшое возмущение, вызванное случайным астероидом, приведет к небольшим, но достаточным изменениям, чтобы Солнечная система разлетелась в разные стороны. По-видимому, что-то подобное приключилось в планетной системе солнцеподобной звезды ипсилон Андромеды. Астрономы считают, что странное поведение существующих планет является свидетельством катастрофы, во время которой одна из исходных планет, вращающихся вокруг звезды, была выброшена наружу из-за какого-то возмущения первоначально стабильных орбит. Может ли такое произойти и с нашей планетой?

Для собственного успокоения ученые недавно провели расчеты на суперкомпьютерах, чтобы найти ответ на вопрос, перед которым капитулировал Пуанкаре: существует ли угроза, что Земля улетит от Солнца? Они проследили эволюцию имеющихся орбит планет вперед и назад по времени. К счастью, вычисления показали, что с вероятностью 99 % планеты продолжат бесперебойное вращение по своим орбитам на протяжении 5 миллиардов лет (к тому времени наша звезда станет красным гигантом и поглотит внутренние планеты Солнечной системы). Все же остается однопроцентная вероятность более интересного конечного результата – по крайней мере, с математической точки зрения.

Оказывается, что у внутренних каменистых планет – Меркурия, Венеры, Земли и Марса – менее стабильные орбиты, чем у газовых гигантов – Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. Если бы эти большие планеты были предоставлены сами себе, у них было бы замечательно стабильное будущее. Однако именно у крошечного Меркурия есть потенциал разнести Солнечную систему вдребезги.

В компьютерном моделировании были замечены странные резонансы, возникающие между Меркурием и Юпитером. Они могут привести к тому, что орбита Меркурия будет пересекать орбиту ближайшей к нему планеты, Венеры. Это может подготовить условия для потенциально убийственного столкновения между Венерой и Меркурием, что способно привести к развалу Солнечной системы. Но произойдет ли это на самом деле? Мы не знаем. Хаос делает предсказание будущего крайне трудным.

Не только Солнечная система подвержена хаосу. Черты хаотического поведения есть у многих природных явлений, будь то возникновение волн-убийц в океане, динамика фондового рынка или биение сердца. Но хаотической системой, сильнее всего влияющей на жизнь каждого, является погода. Вопрос «будет ли Земля вращаться вокруг Солнца через миллиард лет?» не относится к числу первоочередных. Мы желаем знать, будет ли тепло и солнечно на следующей неделе, а также изменится ли существенно климат за последующие 20 лет по сравнению с его нынешним состоянием.

У предсказания погоды всегда был налет колдовства, хотя некоторые из народных примет, относящихся к погоде, оказались верными. «Красный закат – радость пастуха» срабатывает, потому что лучи солнца окрашиваются красным, проходя через большие области ясного неба к западу от пастбища. Поскольку погодные системы в Европе, как правило, приходят с запада, это служит указанием на хорошую погоду в ближайшие дни.

В наши дни метеорологи используют в своей работе множество различных данных, от измерений на морских метеостанциях до изображений и информации, передаваемых со спутников. Также у них есть точные уравнения для описания того, как сталкивающиеся воздушные массы в атмосфере взаимодействуют и создают облака, ветер и осадки. Если у нас есть математические уравнения, контролирующие погоду, их, наверное, было бы просто объединить с метеоданными и провести вычисления на компьютере, чтобы определить, какой будет погода на следующей неделе.

Увы, даже при содействии современных суперкомпьютеров прогноз на две недели вперед по-прежнему ненадежен. Мы не в силах предсказать во всех деталях, какой будет погода сегодня, не говоря уже о более отдаленном будущем. Даже лучшие метеостанции дают показания с ограниченной точностью. Мы никогда не сможем знать достоверную скорость каждой молекулы в воздухе, истинную температуру в каждой точке пространства и точное распределение давления по всей планете, а даже небольшая вариация этих характеристик может привести к сильно отличающимся прогнозам погоды. Это породило понятие «эффект бабочки»: бабочка, машущая крыльями, создает лишь небольшие изменения в атмосфере, но в конечном счете они могут привести к торнадо или урагану на другом конце планеты, уносящему жизни и вызывающему многомиллионные разрушения.

По этой причине метеорологи рассчитывают одновременно несколько прогнозов погоды, каждый из которых отличается небольшими вариациями измерений, полученных со спутников и метеостанций по всему миру. Иногда все эти вычисления ведут к одинаковым результатам, и тогда метеорологи могут быть вполне уверены, что верно предсказывают погоду – хотя она и хаотична – на одну-две недели. Но, если в некоторых расчетах результаты совершенно различны, синоптики понимают, что никоим образом не могут достоверно предсказать погоду даже на несколько дней.

Вспомните наш хаотический маятник, раскачивающийся между тремя магнитами. Согласно компьютерному изображению, существуют области, где маленькие изменения начального положения не приводят к тому, что маятник завершает свое движение у другого магнита. То же самое происходит с погодой. Представьте, что большая черная область на рисунке соответствует погоде в пустыне: там всегда будет жарко, сколь усердно ни махала бы бабочка крыльями. То же можно сказать и про Арктику, соответствующую большой белой области. Но погода в Великобритании соответствует той области изображения, где краски быстро меняются на малом масштабе, то есть небольшие изменения положения маятника приводят к разным результатам.