Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Знай мы точные положения и скорости всех частиц во Вселенной, мы могли бы достоверно предсказывать будущее. Однако проблема состоит в том, что немного ошибочное определение этих начальных условий может привести к совершенно иному будущему. Вселенная может быть уподоблена часовому механизму, но мы никогда не будем знать положения шестеренок достаточно точно, чтобы воспользоваться ее детерминированной природой.

Европейский футбольный чемпионат 1968 г. проходил до введения правила о пробитии пенальти для выявления победителя матча, завершившегося вничью. Поскольку матч между сборными Италии и Советского Союза был безголевым даже после дополнительного времени, была брошена монета для определения того, какая из команд выйдет в финал. С римских времен всеми признавалось, что монета была честным способом решения спора. В конце концов, невозможно предсказать, какой стороной выпадет монета, вращающаяся в воздухе. Или это не так?

Теоретически говоря, если вы точно знаете положение монеты, скорость ее вращения и время падения, вы можете рассчитать, как она приземлится. Но, подобно погоде, не приведет ли крошечное изменение одного из этих факторов к противоположному исходу? Перси Диаконис, математик из Стэнфордского университета в Калифорнии, решил проверить, так ли непредсказуемо подкидывание монеты, как мы думаем. Если условия при каждом броске монеты одинаковы, то, согласно математике, всякий раз будет тот же исход. Но не скрываются ли в подкидываемой монете характерные черты хаоса? Что, если при небольшой вариации начальных условий эти вариации к моменту падения усиливаются настолько, что становится невозможно предсказать, выпадет орел или решка?

С помощью друзей-инженеров Диаконис построил механическую машину по подкидыванию монет, которая могла воспроизводить условия броска снова и снова. Разумеется, от случая к случаю имеются незначительные отличия, но приведут ли они к другому исходу, как было у маятника, раскачивающегося между тремя магнитами? Диаконис обнаружил, что всякий раз, когда он повторял эксперимент со своим механическим подкидывателем, монета выпадала одной и той же стороной. Затем он натренировался и сам бросать монету идентичным образом, в результате у него могли выпасть 10 орлов подряд. Если вы решаете судьбу чего-то броском монеты, удостоверьтесь, что ее не подкидывает человек, подобный Перси Диаконису.

Но что можно сказать о самых обычных людях, которые заметно меняют бросок монеты от случая к случаю? Диаконис задался вопросом, может ли в данных условиях быть предпочтение в выпадении сторон? Чтобы приступить к математическому исследованию, ему понадобился эксперт по вращающимся предметам. Он понял, что нашел нужного человека, когда познакомился с Ричардом Монтгомери. Последний прославился тем, что доказал теорему о падающей кошке – он объяснил способность кошек приземляться на лапы независимо от положения, в котором они были в начале падения. Вместе со статистиком Сьюзен Холмс они показали, что вращающаяся монета, запускаемая щелчком большого пальца, предпочтительно выпадает вверх определенной стороной.

Чтобы преобразовать теорию в фактические числа, исследователям пришлось тщательно проанализировать, как вращающаяся монета движется в воздухе. С помощью высокоскоростной цифровой видеокамеры, способной делать 10 000 кадров в секунду, они запечатлели движение монеты и использовали полученные данные в своей теоретической модели. То, что они обнаружили, может показаться неожиданным: при надлежащем броске монеты одна из сторон выпадает с бо́льшим предпочтением. Это предпочтение невелико: в 51 % случаев после приземления наверху оказывается та же самая сторона, которая была наверху при подкидывании монеты. Причина, видимо, связана с той же самой физикой, которая управляет движением бумеранга или гироскопа. Оказывается, что вращающаяся монета также прецессирует подобно гироскопу и чуть больше времени наверху при полете находится та сторона, которая была верхней при запуске монеты. Эта разница в вероятности несущественна для одного броска, но может быть очень значительной в длинной серии бросков.

Есть организации, которые, безусловно, заинтересованы в длинных сериях. Это казино. Их доход напрямую связан с вероятностями за большой промежуток времени. Они полагаются на то, что вы будете ошибаться в предсказании исхода при каждом броске игральной кости или запуске рулетки. Но как и при подкидывании монеты: если вы знаете начальные положения колеса рулетки и шарика, а также их стартовые скорости, вы, теоретически говоря, можете применить ньютоновскую физику, чтобы определить, куда упадет шарик. Если колесо будет стартовать из одного и того же положения с той же самой скоростью, а крупье каждый раз будет по-одинаковому запускать шарик, то он должен упасть на то же самое место. Однако и здесь возникает та проблема, которую открыл Пуанкаре: даже совсем небольшое изменение начальных положений и скоростей колеса рулетки и шарика может иметь самые драматические последствия для результата. То же относится и к игральной кости.

Но это вовсе не означает, что математика не может помочь вам сузить диапазон конечных положений шарика. Вы можете внимательно проследить за тем, как шарик совершает несколько оборотов вокруг колеса рулетки, прежде чем сделать вашу ставку. Поэтому у вас появляется возможность проанализировать траекторию шарика и предсказать конечный пункт его маршрута. Трое восточноевропейцев – венгерка, описанная как «изящная и красивая», и двое «элегантных» сербских мужчин – сумели сделать это. Они использовали математику, чтобы сорвать крупный куш за столом для рулетки в лондонском казино «Риц» в марте 2004 г.

Используя лазерный сканер, спрятанный внутри мобильного телефона, который был соединен беспроводным способом с компьютером, они фиксировали вращение колеса рулетки по отношению к шарику во время первых двух оборотов. Компьютер предсказывал область из шести номеров, куда должен был упасть шарик. Во время третьего оборота колеса рулетки игроки делали ставки. Увеличив шанс своего выигрыша с 1 из 37 до 1 из 6, троица ставила на все 6 номеров из области, предсказанной компьютером. В первый вечер их доход составил £ 100 000. Во второй вечер они выиграли ошеломляющие £ 1,2 миллиона. Хотя игроки были арестованы, а потом находились под залогом на протяжении 9 месяцев, в конечном счете их освободили от судебного преследования и позволили сохранить выигранные деньги. Команды юристов пришли к выводу, что они никоим образом не вмешивались во вращение колеса и шарика.

Игроки поняли, что, хотя за столом для игры в рулетку царит хаос, небольшое изменение начальных условий колеса и шарика не всегда радикально меняет результат. Именно на это опираются метеорологи, когда предсказывают погоду. Порою при прогоне компьютерных моделей они обнаруживают, что некоторое изменение сегодняшних погодных условий не имеет драматических последствий для прогноза погоды. Компьютер тех игроков делал то же самое: он просчитывал тысячи различных сценариев, чтобы определить, где может очутиться шарик. Компьютер не мог точно предсказать положение шарика, но области из шести номеров было вполне достаточно, чтобы превратить изначально проигрышное положение игроков в выигрышное.