Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

В настоящее время американская государственная лотерея Powerball разыгрывается в сорока двух штатах, в округе Колумбия и на Виргинских островах США. Это невероятно популярная лотерея: иногда продается целых 100 миллионов билетов на один розыгрыш{160}. В Powerball играют бедные люди, в Powerball играют те, кто уже разбогател. В Powerball играет мой отец, бывший президент Американской статистической ассоциации, а поскольку он покупает билеты и для меня, значит, и я тоже играю.

Разумно ли это?

Шестого декабря 2013 года, когда я пишу эти строки, джекпот составляет довольно большую сумму, 100 миллионов долларов. И джекпот – это не единственный способ выиграть. Подобно многим другим лотереям, в Powerball действует многоуровневая система призов; более мелкие и чаще встречающиеся призы позволяют поддерживать у людей ощущение того, что в эту лотерею стоит играть.

С помощью ожидаемой ценности мы в состоянии сопоставить эти ощущения с математическими фактами. Вот как можно рассчитать ожидаемую ценность лотерейного билета за 2 доллара. Покупая билет, вы приобретаете следующее:

1 шанс из 175 000 000 выиграть джекпот 100 миллионов долларов;

1 шанс из 5 000 000 выиграть приз 1 миллион долларов;

1 шанс из 650 000 выиграть приз 10 тысяч долларов;

1 шанс из 19 000 выиграть приз 100 долларов;

1 шанс из 12 000 выиграть другой приз 100 долларов;

1 шанс из 700 выиграть приз 7 долларов;

1 шанс из 360 выиграть другой приз 7 долларов;

1 шанс из 110 выиграть приз 4 доллара;

1 шанс из 55 выиграть другой приз 4 доллара.

(Все эти данные можно получить на сайте Powerball, на котором есть также на удивление остроумная страница «Часто задаваемые вопросы», где можно найти нечто в таком роде: «Вопрос: заканчивается ли срок действия билетов Powerball? Ответ: да; Вселенная затухает, и ничто не вечно».)

Таким образом, ожидаемая сумма, которую вы можете выиграть, равна:

100 миллионов / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

что составляет немногим менее 94 центов. Другими словами, с точки зрения ожидаемой ценности лотерейный билет не стоит ваших двух долларов.

Но это не конец истории, поскольку не все лотерейные билеты одинаковые. Когда джекпот составляет 100 миллионов долларов (как сегодня), ожидаемая ценность билета возмутительно низка. Но каждый раз, когда джекпот остается невостребованным, в призовой фонд поступает дополнительная сумма денег. Чем больше становится джекпот, тем больше людей покупают лотерейные билеты и тем больше вероятность того, что один из этих билетов сделает кого-то мультимиллионером. В августе 2012 года работник железной дороги из штата Мичиган Дональд Лоусон сорвал джекпот в размере 337 миллионов долларов{161}.

Когда главный приз становится настолько большим, ожидаемая ценность билета также увеличивается. Для того чтобы рассчитать эту ценность, достаточно подставить в приведенную выше формулу сумму 337 миллионов:

337 миллионов / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

что составляет 2,29 доллара. Отныне игра в лотерею уже не кажется таким безнадежным делом. Насколько большим должен быть джекпот, чтобы ожидаемая ценность лотерейного билета превысила его цену в два доллара? Теперь вы можете вернуться к учительнице, которая преподавала вам математику в восьмом классе, и сказать ей, что вы поняли, зачем нужна алгебра. Если мы обозначим величину джекпота буквой J, ожидаемая ценность билета равна:

J / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

или, если упростить эту формулу:

J / 175 миллионов + 36,7 цента.

В этот момент в игру вступает алгебра. Чтобы ожидаемая ценность лотерейного билета оказалась больше двух долларов, которые вы на него потратили, необходимо, чтобы значение J / 175 миллионов было больше 1,63 доллара или что-то около этого. Умножив обе стороны на 175 миллионов, вы обнаружите, что пороговая величина джекпота составляет немногим более 285 миллионов долларов. Это не такое уж редкое событие: в 2012 году такой джекпот был три раза. Создается впечатление, что по большому счету игра в лотерею может быть неплохой идеей – если вы достаточно осмотрительны, чтобы играть только тогда, когда джекпот становится достаточно большим.

Но и это еще не конец истории. Вы не единственный человек в Америке, знакомый с алгеброй. И даже люди, не знающие алгебры, инстинктивно понимают, что лотерейный билет более заманчив, когда джекпот составляет 300 миллионов долларов, а не 80 миллионов. Как и всегда, математический подход – формализованная версия наших природных мысленных расчетов, продолжение здравого смысла другими средствами. В случае типичного розыгрыша с джекпотом 80 миллионов долларов может быть продано около 13 миллионов билетов. Но когда Дональд Лоусон выиграл 337 миллионов долларов, вместе с ним в лотерею играли еще около 75 миллионов человек[171].

Чем больше людей играет, тем больше людей выигрывают призы. Но джекпот только один. И если два человека угадали все шесть чисел, они должны разделить эти большие деньги.

Какова вероятность того, что вы выиграете джекпот и вам не придется им делиться? Для этого должны произойти две вещи. Прежде всего вы должны угадать все шесть чисел; вероятность сделать это составляет один шанс из 175 миллионов. Но недостаточно просто выиграть: все остальные должны проиграть.

Существует неплохая вероятность, что любой отдельно взятый игрок упустит джекпот – около 174 999 999 из 175 миллионов. Но если в игре принимает участие 75 миллионов игроков, существует довольно большая вероятность, что один из них сорвет джекпот.

Насколько велика эта вероятность? Чтобы определить это, давайте используем факт, с которым встречались уже не раз: если мы знаем вероятность одного события и знаем вероятность другого события и если эти два события независимы (наступление одного события не влияет на наступление другого), тогда вероятность наступления первого и второго событий равна произведению вероятностей наступления этих двух событий.